Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, получится дробь, равная данной. Равные дроби — это разные записи одного и того же числа.
Подробное объяснение
Представьте пиццу, разрезанную на 3 равных куска. Вы съели 2 куска — это \(\dfrac{2}{3}\) пиццы. А теперь каждый кусок разрезали ещё пополам, не трогая пиццу. Кусков стало \(3 \cdot 2 = 6\), а у вас в тарелке было бы \(2 \cdot 2 = 4\) маленьких куска. Съеденная часть — \(\dfrac{4}{6}\). Но пиццы вы съели ровно столько же! Значит, \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\).
Правило
Когда каждую долю делят на \(n\) равных частей, долей становится в \(n\) раз больше (знаменатель умножается на \(n\)), и взятых долей тоже в \(n\) раз больше (числитель умножается на \(n\)). Размер самой части не меняется. Отсюда основное свойство дроби:
где \(n\) — любое натуральное число. Например, \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{50}{100}\), \(\dfrac{3}{1} = \dfrac{12}{4}\).
Числа \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{4}{6}\) — одно и то же число, записанное по-разному. Так же «полчаса» и «30 минут» — один и тот же промежуток времени: \(\dfrac{1}{2}\) часа \(= \dfrac{30}{60}\) часа.
Можно и делить
Равенство читается и справа налево: если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, их можно разделить — дробь не изменится: \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\). Подробно это разбирается в теме «Сокращение дробей».
Что менять нельзя
Свойство работает только для умножения (и деления) обоих чисел на одно и то же число. Если прибавить к числителю и знаменателю одно число, дробь изменится: \(\dfrac{1}{2}\) — половина, а \(\dfrac{1 + 1}{2 + 1} = \dfrac{2}{3}\) — уже больше половины.
На координатной прямой
Равные дроби изображаются одной и той же точкой. Если единичный отрезок 12 см, точка \(\dfrac{1}{4}\) стоит на 3 см от нуля, и точка \(\dfrac{3}{12}\) — тоже на 3 см.
Как решать задачи
- Записать дробь с новым знаменателем. Разделите новый знаменатель на старый — получится дополнительный множитель. Умножьте на него числитель.
- Найти неизвестное в равенстве \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{x}{24}\). Узнайте, во сколько раз изменился знаменатель (или числитель), и так же измените другое число.
- Проверить, равны ли дроби. Посмотрите, получается ли одна дробь из другой умножением числителя и знаменателя на одно число. Если знаменатели разные, удобно записать обе дроби с одинаковым знаменателем.
- «Сколько двадцатых долей в дроби?» — запишите дробь со знаменателем 20, ответ — числитель.
Разобранные примеры
Дробь с новым знаменателем
Запишите дробь \(\dfrac{3}{5}\) со знаменателем 35.
Дополнительный множитель — \(35 : 5 = 7\). Умножаем на 7 числитель и знаменатель: \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \dfrac{21}{35}\).
Минуты как доли часа
Какую часть часа составляют 40 минут? Запишите ответ дробью со знаменателем 3.
40 минут — это \(\dfrac{40}{60}\) часа. Числитель и знаменатель делятся на 20: \(40 = 2 \cdot 20\), \(60 = 3 \cdot 20\). По основному свойству \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \dfrac{40}{60}\).
Равны ли дроби
Верно ли, что \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{32}\)?
Числитель умножили на 3 (\(5 \cdot 3 = 15\)), а знаменатель \(12 \cdot 3 = 36\), не 32. Числитель и знаменатель умножены на разные числа, поэтому дроби не равны: \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}\).
Типичные ошибки
\(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{2 \cdot 4}{3} = \dfrac{8}{3}\) — совсем разные числа: вторая дробь в 4 раза больше. Если умножить только знаменатель, доли станут мельче, а взятых долей останется столько же — часть уменьшится.
Умножайте оба числа на одно и то же: \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}\).
Основное свойство говорит только об умножении и делении. \(\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{1 + 2}{3 + 2} = \dfrac{3}{5}\): треть меньше половины, а \(\dfrac{3}{5}\) больше половины.
Чтобы получить равную дробь, числитель и знаменатель умножают: \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}\).
В задании «запишите \(\dfrac{3}{4}\) со знаменателем 20» иногда вычитают: \(20 - 4 = 16\) и пишут \(\dfrac{19}{20}\) или умножают числитель на 16. Так получается другая дробь.
Множитель находят делением: \(20 : 4 = 5\), \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая дробь равна \(\dfrac{2}{5}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) $\dfrac{6}{15}$
\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \dfrac{6}{15}\) — числитель и знаменатель умножены на одно число.
-
Какие действия с числителем и знаменателем НЕ меняют дробь?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Умножить оба на 4; В) Разделить оба на их общий делитель
Дробь не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число; прибавление её меняет.
-
Сколько восемнадцатых долей содержится в \(\dfrac{5}{6}\)?
Показать ответ
Ответ: 15
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \dfrac{15}{18}\).
-
Найдите \(x\), если \(\dfrac{7}{x} = \dfrac{28}{36}\).
Показать ответ
Ответ: 9
\(28 : 7 = 4\), значит, знаменатель тоже умножили на 4, \(x = 36 : 4 = 9\).
-
Сколько минут составляет \(\dfrac{3}{4}\) часа?
Показать ответ
Ответ: В) 45 мин
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \dfrac{45}{60}\) часа — это 45 минут.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Умножьте числитель и знаменатель дроби \(\dfrac{2}{9}\) на 5. Какая дробь получится?
Подсказка
Умножать нужно и верхнее, и нижнее число.
Решение
\(\dfrac{2}{9} = \dfrac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \dfrac{10}{45}\).
Ответ
Какое число нужно поставить вместо \(x\), чтобы было верно равенство \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{x}{24}\)?
Подсказка
Во сколько раз 24 больше 8?
Решение
\(24 : 8 = 3\) — знаменатель умножили на 3. Числитель тоже умножаем на 3, \(x = 3 \cdot 3 = 9\).
Ответ
Запишите дробь \(\dfrac{5}{6}\) со знаменателем 42. Сколько сорок вторых долей в ней?
Подсказка
Найдите дополнительный множитель — во сколько раз новый знаменатель больше старого.
Решение
\(42 : 6 = 7\); \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \dfrac{35}{42}\) — 35 сорок вторых долей.
Ответ
Верно ли равенство \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{56}\)? Объясните.
Подсказка
Посмотрите, на какие числа умножены числитель и знаменатель.
Решение
\(24 : 4 = 6\), а \(56 : 9\) не делится нацело (\(9 \cdot 6 = 54\)). Числитель и знаменатель умножены на разные числа, поэтому дроби не равны. Равной была бы дробь \(\dfrac{24}{54}\).
Ответ
Числитель дроби, равной \(\dfrac{3}{7}\), на 28 меньше её знаменателя. Найдите эту дробь.
Подсказка
Дроби, равные \(\dfrac{3}{7}\), имеют вид \(\dfrac{3n}{7n}\). Какова разность знаменателя и числителя?
Решение
У дроби \(\dfrac{3n}{7n}\) знаменатель больше числителя на \(7n - 3n = 4n\). Значит, \(4n = 28\), \(n = 7\). Дробь — \(\dfrac{3 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \dfrac{21}{49}\). Проверка — \(49 - 21 = 28\).
Ответ
Сумма числителя и знаменателя дроби, равной \(\dfrac{2}{3}\), равна 45. Найдите эту дробь.
Подсказка
Дробь имеет вид \(\dfrac{2n}{3n}\); сколько будет \(2n + 3n\)?
Решение
\(2n + 3n = 5n = 45\), \(n = 9\). Дробь — \(\dfrac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \dfrac{18}{27}\). Проверка — \(18 + 27 = 45\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите плитку шоколада или лист бумаги. Разделите на 4 части, закрасьте (отломите) 3 — это \(\dfrac{3}{4}\). Потом каждую четверть разрежьте пополам: частей стало 8, взятых — 6, а количество шоколада то же. Пусть ребёнок сам запишет \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}\) и объяснит, почему оба числа умножились на 2. Хорошо работают и часы: полчаса — 30 минут из 60, четверть часа — 15 из 60.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{14}\)? 2) Сколько двенадцатых долей в \(\dfrac{2}{3}\)? 3) Можно ли к числителю и знаменателю прибавить 1, чтобы дробь не изменилась?
На что обратить внимание. Главная ошибка — менять только одно число или складывать вместо умножения. Просите ребёнка каждый раз вслух называть дополнительный множитель («умножаю на 5 и сверху, и снизу»). Это свойство — основа следующих тем: сокращения дробей и приведения к общему знаменателю, поэтому его стоит довести до автоматизма.