Доли и дроби. Дроби на координатной прямой

Арбуз разрезали на 6 одинаковых ломтей. Каждый ломоть — это одна шестая арбуза, пишут \(\dfrac{1}{6}\). Если взять 4 ломтя, получится четыре шестых арбуза, \(\dfrac{4}{6}\).

Доли

Когда целое — арбуз, отрезок, час, килограмм — делят на равные части, каждую часть называют долей. Если частей 2, доля называется половиной (\(\dfrac{1}{2}\)), если 3 — третью (\(\dfrac{1}{3}\)), если 4 — четвертью (\(\dfrac{1}{4}\)). Дальше названия идут по порядку: пятая, шестая, десятая, сотая.

Важно, чтобы части были равными. Если арбуз разрезать на один большой и два маленьких куска, ни один из них не будет третью.

Многие единицы измерения — это доли более крупных единиц:

• 1 см \(= \dfrac{1}{100}\) м, 1 дм \(= \dfrac{1}{10}\) м;
• 1 г \(= \dfrac{1}{1000}\) кг, 1 кг \(= \dfrac{1}{1000}\) т;
• 1 мин \(= \dfrac{1}{60}\) ч, 1 ч \(= \dfrac{1}{24}\) суток.

Обыкновенная дробь

Запись \(\dfrac{3}{5}\) называют обыкновенной дробью. Знаменатель 5 показывает, на сколько равных долей разделили целое. Числитель 3 — сколько таких долей взяли.

Читают дробь так: числитель — как количество («одна», «две», «три»), знаменатель — как порядковое число («пятая», «пятых»). \(\dfrac{1}{7}\) — одна седьмая, \(\dfrac{2}{9}\) — две девятых, \(\dfrac{5}{100}\) — пять сотых.

Часть от числа и число по части

Дробями удобно решать задачи про части. Их два главных вида.

Найти часть от числа. Сколько метров составляют \(\dfrac{3}{4}\) от 20 м? Одна четвёртая — \(20 : 4 = 5\) м, три четвёртых — \(5 \cdot 3 = 15\) м. Правило: делим на знаменатель, умножаем на числитель.

Найти число по его части. Три четвёртых пути — это 15 км. Каков весь путь? Одна четвёртая — \(15 : 3 = 5\) км, весь путь (четыре четвёртых) — \(5 \cdot 4 = 20\) км. Правило: делим на числитель, умножаем на знаменатель.

Ещё одна частая задача — какую часть одно число составляет от другого. Из 12 км пути проехали 7 км: это \(\dfrac{7}{12}\) пути. Часть пишем в числителе, целое — в знаменателе.

Дроби на координатной прямой

Дроби, как и натуральные числа, можно отмечать на координатной прямой. Единичный отрезок от 0 до 1 делим на столько равных частей, каков знаменатель. Потом от нуля откладываем столько частей, каков числитель.

Например, для \(\dfrac{3}{5}\) делим единичный отрезок на 5 частей и откладываем 3. Если точка \(K\) изображает число \(\dfrac{3}{5}\), пишут \(K\left(\dfrac{3}{5}\right)\). Удобно брать единичный отрезок из стольких клеток, чтобы он делился на знаменатель: для пятых — 5 или 10 клеток.

Как решать задачи

1. Определите целое: что разделили на доли — отрезок, путь, массу, время.
2. Найдите, какие доли (знаменатель) и сколько их (числитель).
3. Если известно целое — делите его на знаменатель и умножайте на числитель.
4. Если известна часть — делите её на числитель и умножайте на знаменатель.
5. Переведите величины в одни единицы (1 ч 20 мин = 80 мин) и проверьте ответ: часть не может быть больше целого, если числитель меньше знаменателя.