Как правильно подготовить уменьшаемое в примере 61/7 - 24/7?

Записать 6 1/7 как 5 8/7

Поменять дроби местами: 6 4/7 − 2 1/7

Записать 6 1/7 как 5 1/7

Записать 6 1/7 как 6 8/7

Сложение и вычитание смешанных чисел

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Смешанное число — это сумма целой части и дроби. Поэтому целые части складывают (вычитают) с целыми, а дробные — с дробными. Если в сумме дробная часть стала неправильной дробью, из неё выделяют целую часть. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше, занимают единицу из целой части.

a\dfrac{m}{n} \pm b\dfrac{k}{n} = (a \pm b) + \dfrac{m \pm k}{n}

Подробное объяснение

Представьте, что в одной коробке 2 целые пиццы и ещё $\dfrac{3}{8}$ пиццы, а в другой — 1 целая и $\dfrac{4}{8}$ . Сколько всего? Целые пиццы считаем отдельно: $$2 + 1 = 3$$ . Кусочки — отдельно: $$3 + 4 = 7$$ восьмых. Всего $3\dfrac{7}{8}$ пиццы. Именно так и складывают смешанные числа.

Почему так можно

Смешанное число $2\dfrac{3}{8}$ — это сокращённая запись суммы $2 + \dfrac{3}{8}$ . Когда складываем два смешанных числа, мы складываем четыре слагаемых. По переместительному и сочетательному свойствам сложения их можно переставить и сгруппировать: целые — вместе, дроби — вместе.

2\dfrac{3}{8} + 1\dfrac{4}{8} = (2 + 1) + \left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8}\right) = 3\dfrac{7}{8}

Дробные части складывают по знакомому правилу: знаменатель тот же, числители складываются. В этом пункте у дробей всегда одинаковые знаменатели.

Когда дробная часть «переполняется»

Бывает, что сумма дробных частей — неправильная дробь, например $\dfrac{9}{7}$ . Записать ответ как $5\dfrac{9}{7}$ нельзя: у смешанного числа дробная часть должна быть меньше единицы. Выделяем целую часть: $\dfrac{9}{7} = 1\dfrac{2}{7}$ , и добавляем эту единицу к целым: $5\dfrac{9}{7} = 6\dfrac{2}{7}$ .

Вычитание

Вычитают так же: целые из целых, дробные из дробных. $7\dfrac{5}{9} - 3\dfrac{2}{9} = 4\dfrac{3}{9}$ .

Трудность появляется, когда дробная часть уменьшаемого меньше, чем у вычитаемого: $5\dfrac{1}{4} - 2\dfrac{3}{4}$ . Из одной четверти три четверти не вычесть. Тогда «разменивают» одну целую: берут единицу из целой части и превращают её в $\dfrac{4}{4}$ .

5\dfrac{1}{4} = 4 + 1 + \dfrac{1}{4} = 4 + \dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{4} = 4\dfrac{5}{4}

Теперь $4\dfrac{5}{4} - 2\dfrac{3}{4} = 2\dfrac{2}{4}$ . Это как в магазине: если в кошельке 5 рублей монетами по рублю и одна монетка, а сдачи не хватает, одну монету меняют на мелочь.

Вверху пять закрашенных кругов и круг с одной закрашенной четвертью — число 5 1/4. Один целый круг разрезан на четыре четверти, внизу четыре целых круга и пять закрашенных четвертей — 4 5/4. — Одну целую разменяли на четыре четверти, поэтому 5 1/4 = 4 5/4. Так готовят уменьшаемое к вычитанию.

Вычитание из натурального числа

Число 6 — это смешанное число с «пустой» дробной частью. Чтобы вычесть $2\dfrac{3}{5}$ , занимаем единицу: $6 = 5\dfrac{5}{5}$ . Знаменатель берём такой же, как у вычитаемого. Дальше всё как обычно: $5\dfrac{5}{5} - 2\dfrac{3}{5} = 3\dfrac{2}{5}$ .

Если прибавляют или вычитают натуральное число, меняется только целая часть: $4\dfrac{2}{7} + 3 = 7\dfrac{2}{7}$ , $9\dfrac{1}{3} - 9 = \dfrac{1}{3}$ .

Как решать задачи

Проверьте, что знаменатели дробных частей одинаковые.
Сложите (вычтите) целые части.
Сложите (вычтите) дробные части. При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше, сначала займите единицу из целой части.
Если дробная часть получилась неправильной дробью, выделите из неё целую часть и прибавьте к целым.
Проверьте ответ: при вычитании сложите разность с вычитаемым — должно получиться уменьшаемое.

Разобранные примеры

База

Сложение без перехода через единицу

Условие

Найдите сумму $4\dfrac{2}{11} + 3\dfrac{7}{11}$ .

Решение

Целые части: $$4 + 3 = 7$$ . Дробные части: $\dfrac{2}{11} + \dfrac{7}{11} = \dfrac{9}{11}$ .

$4\dfrac{2}{11} + 3\dfrac{7}{11} = 7\dfrac{9}{11}$ .

Ответ: 7 9/11

Средний

Сложение с выделением целой части

Условие

В бочку налили $12\dfrac{5}{6}$ ведра воды, потом ещё $4\dfrac{4}{6}$ ведра. Сколько вёдер воды в бочке?

Решение

$12\dfrac{5}{6} + 4\dfrac{4}{6} = (12 + 4) + \dfrac{5 + 4}{6} = 16\dfrac{9}{6}$ .

Дробь $\dfrac{9}{6}$ неправильная: $\dfrac{9}{6} = 1\dfrac{3}{6}$ . Значит, $16\dfrac{9}{6} = 17\dfrac{3}{6}$ .

Дробную часть можно сократить: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ , получаем $17\dfrac{1}{2}$ ведра.

Ответ: 17 1/2 ведра

Сложный

Вычитание с заниманием единицы

Условие

Вычислите $20 - 7\dfrac{3}{10} - 4\dfrac{9}{10}$ .

Решение

$20 = 19\dfrac{10}{10}$ , поэтому $20 - 7\dfrac{3}{10} = 19\dfrac{10}{10} - 7\dfrac{3}{10} = 12\dfrac{7}{10}$ .
Дробная часть $\dfrac{7}{10}$ меньше $\dfrac{9}{10}$ , занимаем единицу: $12\dfrac{7}{10} = 11\dfrac{17}{10}$ .

$11\dfrac{17}{10} - 4\dfrac{9}{10} = 7\dfrac{8}{10}$ .

Проверка: $7\dfrac{8}{10} + 4\dfrac{9}{10} + 7\dfrac{3}{10} = 18\dfrac{20}{10} = 20$ .

Ответ: 7 8/10 (после сокращения — 7 4/5)

Типичные ошибки

Оставляют в ответе неправильную дробную часть

Почему неверно

Запись $6\dfrac{11}{8}$ означает $6 + \dfrac{11}{8}$ , а $\dfrac{11}{8}$ больше единицы. Число записано не в виде смешанного числа: целая часть «спрятана» в дроби.

Как правильно

Выделите целую часть из дробной: $\dfrac{11}{8} = 1\dfrac{3}{8}$ , и прибавьте к целым: $6\dfrac{11}{8} = 7\dfrac{3}{8}$ .

Вычитают меньшую дробь из большей «наоборот»

Почему неверно

В примере $8\dfrac{2}{9} - 3\dfrac{5}{9}$ пишут $5\dfrac{3}{9}$ , вычитая $\dfrac{2}{9}$ из $\dfrac{5}{9}$ . Но уменьшаемое и вычитаемое менять местами нельзя — ответ получится больше верного.

Как правильно

Займите единицу: $8\dfrac{2}{9} = 7\dfrac{11}{9}$ . Тогда $7\dfrac{11}{9} - 3\dfrac{5}{9} = 4\dfrac{6}{9}$ .

При вычитании из натурального числа забывают уменьшить целую часть

Почему неверно

Пишут $7 - \dfrac{2}{5} = 7\dfrac{3}{5}$ : единицу превратили в $\dfrac{5}{5}$ , а из семёрки её не забрали. Получилось число больше 7 — после вычитания так быть не может.

Как правильно

$7 = 6\dfrac{5}{5}$ , поэтому $7 - \dfrac{2}{5} = 6\dfrac{3}{5}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите сумму $3\dfrac{2}{9} + 4\dfrac{5}{9}$ .

Подсказка

Сложите целые части отдельно и дробные части отдельно.

Решение

$3\dfrac{2}{9} + 4\dfrac{5}{9} = (3 + 4) + \dfrac{2 + 5}{9} = 7\dfrac{7}{9}$ .

Ответ

7 7/9

База Задача 2

Найдите разность $8\dfrac{6}{11} - 5\dfrac{4}{11}$ .

Решение

$8\dfrac{6}{11} - 5\dfrac{4}{11} = (8 - 5) + \dfrac{6 - 4}{11} = 3\dfrac{2}{11}$ .

Ответ

3 2/11

Средний Задача 3

Вычислите $5\dfrac{7}{12} + 2\dfrac{11}{12}$ .

Подсказка

В дробной части получится неправильная дробь — выделите из неё целую часть.

Решение

$5\dfrac{7}{12} + 2\dfrac{11}{12} = 7\dfrac{18}{12}$ .

$\dfrac{18}{12} = 1\dfrac{6}{12}$ , поэтому $7\dfrac{18}{12} = 8\dfrac{6}{12}$ .

Ответ

8 6/12 (после сокращения — 8 1/2)

Средний Задача 4

Вычислите $10 - 3\dfrac{5}{8}$ .

Подсказка

Займите у 10 единицу и запишите её как $\dfrac{8}{8}$ .

Решение

$10 = 9\dfrac{8}{8}$ .

$9\dfrac{8}{8} - 3\dfrac{5}{8} = 6\dfrac{3}{8}$ .

Ответ

6 3/8

Сложный Задача 5

Отрезок длиной $12\dfrac{1}{6}$ см разрезали на два куска. Первый кусок $4\dfrac{5}{6}$ см. На сколько сантиметров второй кусок длиннее первого?

Подсказка

Сначала найдите длину второго куска.

Решение

Второй кусок: $12\dfrac{1}{6} - 4\dfrac{5}{6} = 11\dfrac{7}{6} - 4\dfrac{5}{6} = 7\dfrac{2}{6}$ (см).
Разность: $7\dfrac{2}{6} - 4\dfrac{5}{6} = 6\dfrac{8}{6} - 4\dfrac{5}{6} = 2\dfrac{3}{6}$ (см), то есть $2\dfrac{1}{2}$ см.

Ответ

На 2 1/2 см (2 3/6 см)

Сложный Задача 6

Решите уравнение $x + 3\dfrac{7}{15} = 9\dfrac{2}{15}$ .

Подсказка

Неизвестное слагаемое равно сумме минус известное слагаемое.

Решение

$x = 9\dfrac{2}{15} - 3\dfrac{7}{15}$ .

Дробная часть уменьшаемого меньше, занимаем единицу: $9\dfrac{2}{15} = 8\dfrac{17}{15}$ .

$x = 8\dfrac{17}{15} - 3\dfrac{7}{15} = 5\dfrac{10}{15}$ , то есть $5\dfrac{2}{3}$ .

Проверка: $5\dfrac{10}{15} + 3\dfrac{7}{15} = 8\dfrac{17}{15} = 9\dfrac{2}{15}$ .

Ответ

x = 5 2/3 (5 10/15)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите несколько целых яблок и одно, разрезанное на 4 дольки. Покажите $2\dfrac{3}{4}$ : два целых яблока и три дольки. Добавьте $1\dfrac{2}{4}$ — считайте целые яблоки отдельно, дольки отдельно. Получится 3 яблока и 5 долек; четыре дольки складываются в целое яблоко, итого $4\dfrac{1}{4}$ . Для вычитания попросите убрать 3 дольки, когда долька всего одна: придётся разрезать целое яблоко — это и есть «занять единицу».

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему можно складывать целые и дробные части отдельно? 2) Что делать, если в сумме дробная часть получилась $\dfrac{9}{5}$ ? 3) Как вычесть $2\dfrac{3}{4}$ из числа 5?

На что обратить внимание. Главные трудности — занимание единицы (особенно из натурального числа) и выделение целой части из неправильной дроби. Попросите ребёнка проверять вычитание сложением. Сокращать дроби в этом пункте не обязательно — это следующая тема, но полезно заметить, когда дробь можно упростить.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 32	5.276, 5.277, 5.278, 5.279, 5.280, 5.281, 5.282, 5.283, 5.284, 5.285, 5.286, 5.287, 5.288, 5.289, 5.290, 5.291, 5.292, 5.293, 5.294, 5.295, 5.296, 5.297, 5.298, 5.299, 5.300, 5.301, 5.302, 5.303, 5.304, 5.305, 5.306, 5.307, 5.308