Пропорция — 6 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Отношения

Коротко о главном

Пропорция — это равенство двух отношений: $$a : b = c : d$$ . Числа $$a$$ и $$d$$ — крайние члены, $$b$$ и $$c$$ — средние. Главное правило: в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

a \cdot d = b \cdot c

Подробное объяснение

Одинаковый вкус

Для морса берут 2 стакана ягодного сока на 3 стакана воды. Для большого кувшина взяли 4 стакана сока и 6 стаканов воды. Вкус получится тот же, потому что сок и вода смешаны в одном и том же отношении: $$2 : 3$$ и $$4 : 6$$ — оба отношения равны $\dfrac{2}{3}$ . Значит, можно записать равенство

\[2 : 3 = 4 : 6.\]

Такое равенство двух отношений называют пропорцией. Её записывают двумя способами: $$a : b = c : d$$ или $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . Читают так: « $$a$$ относится к $$b$$ , как $$c$$ относится к $$d$$ » или «отношение $$a$$ к $$b$$ равно отношению $$c$$ к $$d$$ ».

Числа $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ , $$d$$ — члены пропорции. Мы считаем, что ни один из них не равен нулю.

Крайние и средние члены

В записи $$a : b = c : d$$ числа $$a$$ и $$d$$ стоят по краям — это крайние члены. Числа $$b$$ и $$c$$ стоят в середине — это средние члены.

Пропорция 2 : 3 = 4 : 6. Дуга сверху соединяет крайние члены 2 и 6, дуга снизу — средние члены 3 и 4. Ниже записано, что 2 · 6 = 12 и 3 · 4 = 12. — В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Названия условные: если записать ту же пропорцию в другом порядке, $$c : d = a : b$$ , крайние члены станут средними, а средние — крайними.

Основное свойство пропорции

Перемножим крайние и средние члены пропорции $$2 : 3 = 4 : 6$$ . Произведение крайних $2 \cdot 6 = 12$ , произведение средних $3 \cdot 4 = 12$ . Произведения совпали, и это не случайность.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов, $a \cdot d = b \cdot c$ .

Верно и обратное: если для чисел, не равных нулю, $a \cdot d = b \cdot c$ , то из них можно составить пропорцию $$a : b = c : d$$ . Например, $3 \cdot 10 = 5 \cdot 6$ , поэтому $$3 : 5 = 6 : 10$$ .

Это свойство даёт два удобных способа проверить, пропорция ли перед нами: найти оба отношения и сравнить их или сравнить произведения крайних и средних членов. Второй способ часто проще, особенно с дробями.

Перестановки членов

В пропорции можно:

поменять местами средние члены: из $$2 : 3 = 4 : 6$$ получится $$2 : 4 = 3 : 6$$ ;
поменять местами крайние члены: $$6 : 3 = 4 : 2$$ ;
сделать крайние члены средними, а средние — крайними: $$3 : 2 = 6 : 4$$ .

При таких перестановках произведения $2 \cdot 6$ и $3 \cdot 4$ не меняются, поэтому снова получается верная пропорция.

Неизвестный член пропорции

Если три члена пропорции известны, четвёртый можно найти. Это называют «решить пропорцию». Из равенства $a \cdot d = b \cdot c$ следует:

неизвестный крайний член равен произведению средних членов, делённому на известный крайний;
неизвестный средний член равен произведению крайних членов, делённому на известный средний.

Например, в пропорции $$x : 6 = 10 : 4$$ неизвестный член крайний: $x \cdot 4 = 6 \cdot 10 = 60$ , значит, $$x = 60 : 4 = 15$$ .

Как решать задачи

Запишите пропорцию в виде $$a : b = c : d$$ или дробями — так, чтобы было видно все четыре члена.
Определите, какие члены крайние, а какие средние.
Если нужно проверить пропорцию — сравните произведение крайних с произведением средних (или сами отношения).
Если один член неизвестен — запишите основное свойство: «крайний · крайний = средний · средний».
Найдите неизвестный множитель: разделите известное произведение на известный множитель.
Если неизвестное стоит в скобках вместе с числами, сначала найдите всё выражение в скобках, потом само неизвестное.
Сделайте проверку: подставьте ответ и убедитесь, что отношения равны.

Разобранные примеры

База

Пропорция ли это?

Условие

Проверьте, верно ли равенство $$2{,}5 : 4 = 7{,}5 : 12$$ .

Решение

Крайние члены — 2,5 и 12, средние — 4 и 7,5.

$2{,}5 \cdot 12 = 30$ , $4 \cdot 7{,}5 = 30$ .

Произведение крайних членов равно произведению средних, значит, равенство верное — это пропорция. Проверим и отношениями: $$2{,}5 : 4 = 0{,}625$$ и $$7{,}5 : 12 = 0{,}625$$ .

Ответ: Верно, это пропорция.

Средний

Неизвестный средний член

Условие

Найдите $$x$$ из пропорции $1{,}8 : x = 2\dfrac{1}{4} : 5$ .

Решение

Неизвестный член $$x$$ — средний. По основному свойству пропорции

x \cdot 2\dfrac{1}{4} = 1{,}8 \cdot 5.

$1{,}8 \cdot 5 = 9$ , поэтому $x \cdot 2\dfrac{1}{4} = 9$ .

$x = 9 : 2\dfrac{1}{4} = 9 : \dfrac{9}{4} = 9 \cdot \dfrac{4}{9} = 4$ .

Проверка: $$1{,}8 : 4 = 0{,}45$$ и $$2{,}25 : 5 = 0{,}45$$ . Верно.

Ответ: 4

Сложный

Неизвестное внутри члена пропорции

Условие

Решите пропорцию $$(2x - 1) : 3 = 7 : 2{,}1$$ .

Решение

Неизвестный крайний член здесь — всё выражение $$2x - 1$$ . По основному свойству пропорции

(2x - 1) \cdot 2{,}1 = 3 \cdot 7.

$(2x - 1) \cdot 2{,}1 = 21$ , отсюда $$2x - 1 = 21 : 2{,}1 = 10$$ .

$$2x = 10 + 1 = 11$$ , $$x = 11 : 2 = 5{,}5$$ .

Проверка: $2 \cdot 5{,}5 - 1 = 10$ ; $10 : 3 = 3\dfrac{1}{3}$ и $7 : 2{,}1 = 70 : 21 = 3\dfrac{1}{3}$ . Верно.

Ответ: 5,5

Типичные ошибки

Перемножают не те члены

Почему неверно

В пропорции $$2 : 3 = 4 : 6$$ ученик перемножает члены каждого отношения: $2 \cdot 3 = 6$ и $4 \cdot 6 = 24$ — и решает, что пропорция неверна. Но основное свойство говорит о крайних и средних членах, а не о членах одного отношения.

Как правильно

Крайние — первый и последний: $2 \cdot 6 = 12$ . Средние — два в середине: $3 \cdot 4 = 12$ . В записи дробями $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ перемножайте «крест-накрест»: числитель одной дроби на знаменатель другой.

Делят не на тот член

Почему неверно

В пропорции $$x : 4 = 6 : 3$$ ученик пишет $x = 4 \cdot 3 : 6 = 2$ . Проверка не сходится: $$2 : 4 = 0{,}5$$ , а $$6 : 3 = 2$$ . Он перемножил крайний и средний члены, а это не пара.

Как правильно

Неизвестный $$x$$ — крайний, его пара — крайний член 3. Перемножаем средние: $4 \cdot 6 = 24$ , делим на известный крайний: $$x = 24 : 3 = 8$$ . Проверка: $$8 : 4 = 2$$ и $$6 : 3 = 2$$ .

Переставляют члены как попало

Почему неверно

Из пропорции $$2 : 3 = 4 : 6$$ ученик получает «новую» $$3 : 2 = 4 : 6$$ — поменял местами только члены левого отношения. Но $$3 : 2 = 1{,}5$$ , а $4 : 6 = \dfrac{2}{3}$ — равенство неверное.

Как правильно

Меняйте местами оба средних члена между собой или оба крайних между собой, либо переворачивайте оба отношения сразу: $$3 : 2 = 6 : 4$$ . После перестановки проверьте, что произведения крайних и средних по-прежнему равны.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Проверьте, является ли равенство $$6 : 15 = 8 : 20$$ пропорцией.

Подсказка

Сравните произведение крайних членов с произведением средних.

Решение

Крайние члены — 6 и 20, средние — 15 и 8.

$6 \cdot 20 = 120$ , $15 \cdot 8 = 120$ .

Произведения равны, значит, равенство — пропорция. Можно проверить и по-другому: $$6 : 15 = 0{,}4$$ и $$8 : 20 = 0{,}4$$ — отношения равны.

Ответ

Да, является

База Задача 2

Найдите неизвестный член пропорции $$x : 12 = 5 : 4$$ .

Подсказка

Неизвестный член здесь крайний. Найдите произведение средних и разделите его на известный крайний член.

Решение

По основному свойству пропорции $x \cdot 4 = 12 \cdot 5$ , то есть $x \cdot 4 = 60$ .

$$x = 60 : 4 = 15$$ .

Проверка: $$15 : 12 = 1{,}25$$ и $$5 : 4 = 1{,}25$$ . Верно.

Ответ

15

Средний Задача 3

Решите пропорцию $$2{,}4 : x = 0{,}6 : 1{,}5$$ .

Подсказка

Неизвестный член средний. Произведение крайних членов разделите на известный средний член.

Решение

По основному свойству пропорции $x \cdot 0{,}6 = 2{,}4 \cdot 1{,}5$ .

$2{,}4 \cdot 1{,}5 = 3{,}6$ , поэтому $$x = 3{,}6 : 0{,}6 = 6$$ .

Проверка: $$2{,}4 : 6 = 0{,}4$$ и $$0{,}6 : 1{,}5 = 0{,}4$$ . Верно.

Ответ

6

Средний Задача 4

Найдите $$x$$ из пропорции $1\dfrac{1}{3} : x = 2\dfrac{2}{3} : 4{,}5$ .

Подсказка

Запишите смешанные числа неправильными дробями, а 4,5 — дробью $\dfrac{9}{2}$ .

Решение

По основному свойству пропорции $x \cdot 2\dfrac{2}{3} = 1\dfrac{1}{3} \cdot 4{,}5$ .

$1\dfrac{1}{3} \cdot 4{,}5 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{9}{2} = 6$ .

$x = 6 : 2\dfrac{2}{3} = 6 : \dfrac{8}{3} = \dfrac{6 \cdot 3}{8} = \dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}$ .

Ответ

2\dfrac{1}{4}

Сложный Задача 5

Решите пропорцию $$(y + 1{,}5) : 4 = 3 : 0{,}8$$ .

Подсказка

Сумму в скобках считайте одним неизвестным членом пропорции. Сначала найдите её, потом $$y$$ .

Решение

Неизвестный крайний член здесь — вся сумма $$y + 1{,}5$$ .

По основному свойству пропорции $(y + 1{,}5) \cdot 0{,}8 = 4 \cdot 3 = 12$ .

$$y + 1{,}5 = 12 : 0{,}8 = 15$$ .

$$y = 15 - 1{,}5 = 13{,}5$$ .

Проверка: $$(13{,}5 + 1{,}5) : 4 = 15 : 4 = 3{,}75$$ и $$3 : 0{,}8 = 3{,}75$$ . Верно.

Ответ

13,5

Сложный Задача 6

Число мальчиков в классе относится к числу девочек как 4 : 5. Девочек в классе 15. Сколько в классе мальчиков?

Подсказка

Обозначьте число мальчиков буквой $$x$$ и составьте пропорцию $$x : 15 = 4 : 5$$ .

Решение

Дано

мальчики относятся к девочкам как 4 к 5
девочек 15

Найти

число мальчиков

Пусть мальчиков $$x$$ . Отношение числа мальчиков к числу девочек — это $$x : 15$$ , и оно равно $$4 : 5$$ . Получаем пропорцию $$x : 15 = 4 : 5$$ .

$x \cdot 5 = 15 \cdot 4 = 60$ — по основному свойству пропорции.
$$x = 60 : 5 = 12$$ (мальчиков).

Проверка: $$12 : 15 = 0{,}8$$ и $$4 : 5 = 0{,}8$$ . Верно.

Ответ

12 мальчиков

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите сок и воду (или краску и воду): «2 ложки сока на 3 ложки воды — и 4 ложки сока на 6 ложек воды. Вкус одинаковый?» Запишите $$2 : 3 = 4 : 6$$ и покажите, что это пропорция. Обведите дугой крайние числа 2 и 6, другой дугой — средние 3 и 4, перемножьте обе пары: получится 12 и 12. Потом закройте одно число листком и попросите ребёнка найти его по этому правилу.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие члены пропорции $$5 : 8 = 10 : 16$$ крайние, а какие средние? 2) Как, не деля, проверить, верна ли пропорция $$3 : 7 = 9 : 21$$ ? 3) Найди $$x$$ , если $$x : 5 = 6 : 10$$ .

На что обратить внимание. Главная трудность — правильно выбрать пары: перемножают крайний с крайним и средний со средним. Приучайте ребёнка всегда делать проверку подстановкой: это занимает минуту и сразу ловит ошибку. Если неизвестное стоит в скобках, сначала находят всю скобку целиком.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 19	3.39, 3.40, 3.41, 3.42, 3.43, 3.44, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50, 3.51, 3.52, 3.53, 3.54, 3.55, 3.56, 3.57, 3.58, 3.59, 3.60, 3.61, 3.62