Коротко о главном
Отношение двух чисел — это их частное. Отношение \(a : b\) показывает, во сколько раз число \(a\) больше числа \(b\) или какую часть число \(a\) составляет от числа \(b\). Чтобы разделить число в данном отношении, его делят на сумму членов отношения и результат умножают на каждый член.
Подробное объяснение
Сравнить двумя способами
У Маши 12 марок, у Пети 4. Сравнить их можно двумя способами. Вычесть: \(12 - 4 = 8\) — у Маши на 8 марок больше. Или разделить: \(12 : 4 = 3\) — у Маши в 3 раза больше. Первый способ отвечает на вопрос «на сколько?», второй — «во сколько раз?». Сегодня речь о втором.
Что такое отношение
Частное двух чисел \(a\) и \(b\) называют отношением этих чисел. Записывают его двумя способами: \(a : b\) или \(\dfrac{a}{b}\). Читают «отношение \(a\) к \(b\)». Числа \(a\) и \(b\) — члены отношения.
Отношение отвечает сразу на два вопроса:
- во сколько раз \(a\) больше \(b\): \(12 : 4 = 3\), у Маши марок в 3 раза больше;
- какую часть \(a\) составляет от \(b\): \(4 : 12 = \dfrac{1}{3}\), марки Пети — треть марок Маши.
Порядок членов важен: «отношение 4 к 12» и «отношение 12 к 4» — разные числа.
Отношение можно записать обыкновенной дробью, десятичной дробью или в процентах: \(3 : 4 = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\). Раз отношение — это дробь, его можно сокращать: \(18 : 24 = \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\).
Взаимно обратные отношения
Отношения \(3 : 4\) и \(4 : 3\) получаются друг из друга перестановкой членов. Числа \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{4}{3}\) взаимно обратные (их произведение равно 1), поэтому и такие отношения называют взаимно обратными.
Отношение величин
Если две величины выражены одной единицей измерения, их частное называют отношением величин: отношением длин, масс, площадей. Например, у отрезков 6 см и 9 см отношение длин \(6 : 9 = \dfrac{2}{3}\).
Если единицы разные, сначала переходят к одной единице. Отношение 50 см к 2 м — это не \(50 : 2\), а \(50 : 200 = \dfrac{1}{4}\), ведь 2 м = 200 см. Отношение однородных величин — просто число, без единиц.
Отношение разнородных величин — новая величина со своей единицей. Отношение пути ко времени — скорость (км/ч, м/с), стоимости к количеству товара — цена (р./кг).
Деление числа в данном отношении
Пусть 280 г смеси нужно составить из орехов и изюма в отношении \(3 : 4\). Это значит: на каждые 3 равные части орехов приходится 4 такие же части изюма. Всего частей \(3 + 4 = 7\), одна часть — \(280 : 7 = 40\) г. Орехов \(40 \cdot 3 = 120\) г, изюма \(40 \cdot 4 = 160\) г.
Как решать задачи
- Определите, отношение чего к чему нужно найти, и сохраните этот порядок: первым — то, что названо первым.
- Проверьте единицы. Если величины однородные, но в разных единицах, переведите их в одну.
- Разделите первое число на второе и сократите дробь. Ответ можно дать дробью, десятичной дробью или в процентах.
- Чтобы разделить число \(m\) в отношении \(a : b\), разделите \(m\) на сумму \(a + b\) — получите одну часть — и умножьте её на \(a\) и на \(b\).
- Если известна не сумма, а разность двух величин, найдите разность членов отношения: на неё приходится известная разность.
- Проверьте: части в сумме дают целое, а их отношение равно данному.
Разобранные примеры
Отношение длин в разных единицах
Ширина окна 75 см, высота 1,5 м. Найдите отношение ширины окна к его высоте.
- ширина 75 см
- высота 1,5 м
- отношение ширины к высоте
-
\(1{,}5\) м \(= 150\) см — перевели высоту в сантиметры.
-
\(75 : 150 = \dfrac{75}{150} = \dfrac{1}{2}\) — ширина составляет половину высоты.
Девочки и мальчики в классе
В классе 12 девочек и 16 мальчиков. Найдите отношение числа девочек к числу мальчиков и обратное ему отношение. Какую часть класса составляют девочки?
- 12 девочек
- 16 мальчиков
- отношение девочек к мальчикам
- обратное отношение
- долю девочек в классе
-
\(12 : 16 = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}\) — отношение числа девочек к числу мальчиков.
-
\(16 : 12 = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\) — обратное отношение: мальчиков в \(1\dfrac{1}{3}\) раза больше.
-
\(12 + 16 = 28\) (учеников) — в классе.
-
\(12 : 28 = \dfrac{12}{28} = \dfrac{3}{7}\) — такую часть класса составляют девочки.
Компот из яблок и груш
Для компота взяли яблоки и груши в отношении \(5 : 3\). Яблок оказалось на 1,2 кг больше, чем груш. Сколько взяли яблок и сколько груш?
- яблоки и груши в отношении \(5 : 3\)
- яблок на 1,2 кг больше
- массу яблок и массу груш
-
\(5 - 3 = 2\) (части) — на столько частей яблок больше; это 1,2 кг.
-
\(1{,}2 : 2 = 0{,}6\) (кг) — приходится на одну часть.
-
\(0{,}6 \cdot 5 = 3\) (кг) — масса яблок.
-
\(0{,}6 \cdot 3 = 1{,}8\) (кг) — масса груш.
Проверка: \(3 - 1{,}8 = 1{,}2\) кг, \(3 : 1{,}8 = \dfrac{30}{18} = \dfrac{5}{3}\). Верно.
Типичные ошибки
Отношение 40 см к 2 м ученик считает так: \(40 : 2 = 20\) — и делает вывод, что 40 см в 20 раз больше 2 м. Но 40 см меньше 2 м! Числа 40 и 2 записаны в разных единицах, делить их друг на друга нельзя.
Сначала переведите в одну единицу: 2 м = 200 см. Тогда \(40 : 200 = \dfrac{1}{5}\) — 40 см составляют пятую часть 2 м.
Просят отношение числа мальчиков (10) к числу девочек (15), а ученик записывает \(15 : 10 = 1{,}5\). Это отношение девочек к мальчикам — обратное к нужному.
Первым членом пишут то, что в вопросе названо первым: «отношение мальчиков к девочкам» — \(10 : 15 = \dfrac{2}{3}\).
Нужно разделить 35 в отношении \(2 : 5\). Ученик пишет \(35 : 2 = 17{,}5\) и \(35 : 5 = 7\). Но \(17{,}5 + 7 = 24{,}5\), а не 35, и отношение этих чисел совсем другое.
Всего частей \(2 + 5 = 7\), одна часть — \(35 : 7 = 5\). Числа: \(5 \cdot 2 = 10\) и \(5 \cdot 5 = 25\). Проверка: \(10 + 25 = 35\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равно отношение 15 к 20?
Показать ответ
Ответ: А) \(\dfrac{3}{4}\)
Отношение 15 к 20 — это частное \(15 : 20 = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}\).
-
Число 60 разделили в отношении 1 к 2. Чему равно большее из получившихся чисел?
Показать ответ
Ответ: 40
Всего \(1 + 2 = 3\) части, одна часть — \(60 : 3 = 20\), большее число — \(20 \cdot 2 = 40\).
-
Какие пары отношений взаимно обратные?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 2 : 3 и 3 : 2; Б) 4 : 1 и 1 : 4; Г) 5 : 7 и 7 : 5
Взаимно обратные отношения получаются перестановкой членов, их произведение равно 1. А \(1 : 2 = \dfrac{1}{2}\) и \(2 : 4 = \dfrac{1}{2}\) — равные отношения.
-
Найдите отношение 30 см к 2 м. Ответ запишите десятичной дробью.
Показать ответ
Ответ: 0,15
2 м = 200 см, поэтому отношение равно \(30 : 200 = \dfrac{3}{20} = 0{,}15\).
-
Как найти отношение 3 кг к 600 г?
Показать ответ
Ответ: Б) Перевести 3 кг в граммы и разделить 3000 на 600
Величины нужно выразить в одних единицах: \(3000 : 600 = 5\), то есть 3 кг в 5 раз больше 600 г.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите отношение 18 к 24 и отношение 24 к 18.
Подсказка
Отношение — это частное. Запишите его дробью и сократите.
Решение
\(18 : 24 = \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\).
\(24 : 18 = \dfrac{24}{18} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
Эти отношения взаимно обратные: \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 1\).
Ответ
Длина комнаты 4,8 м, а ширина 320 см. Найдите отношение длины комнаты к её ширине.
Подсказка
Сначала выразите обе длины в сантиметрах.
Решение
- длина 4,8 м
- ширина 320 см
- отношение длины к ширине
-
\(4{,}8\) м \(= 480\) см — перевели длину в сантиметры.
-
\(480 : 320 = \dfrac{480}{320} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2} = 1{,}5\) — отношение длины к ширине.
Значит, комната в 1,5 раза длиннее, чем шире.
Ответ
Разделите число 72 в отношении 5 к 3.
Подсказка
Сначала найдите, сколько всего частей и сколько приходится на одну часть.
Решение
-
\(5 + 3 = 8\) — всего частей.
-
\(72 : 8 = 9\) — приходится на одну часть.
-
\(9 \cdot 5 = 45\) и \(9 \cdot 3 = 27\).
Проверка: \(45 + 27 = 72\), \(45 : 27 = \dfrac{45}{27} = \dfrac{5}{3}\). Верно.
Ответ
В корзине 1,5 кг яблок и 600 г груш. Какую часть массы всех фруктов составляют груши? Найдите также отношение массы яблок к массе груш.
Подсказка
Выразите массы в граммах. Масса всех фруктов — сумма масс яблок и груш.
Решение
- яблоки 1,5 кг
- груши 600 г
- какую часть всех фруктов составляют груши; отношение массы яблок к массе груш
-
\(1{,}5\) кг \(= 1500\) г — масса яблок.
-
\(1500 + 600 = 2100\) (г) — масса всех фруктов.
-
\(600 : 2100 = \dfrac{600}{2100} = \dfrac{2}{7}\) — такую часть составляют груши.
-
\(1500 : 600 = \dfrac{1500}{600} = \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2}\) — отношение массы яблок к массе груш: яблок в 2,5 раза больше.
Ответ
Число мальчиков в кружке относится к числу девочек как 4 к 7. Девочек на 9 больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в кружке?
Подсказка
На сколько частей девочек больше, чем мальчиков? Эти части и составляют 9 человек.
Решение
- мальчики и девочки в отношении 4 к 7
- девочек на 9 больше
- число мальчиков и число девочек
-
\(7 - 4 = 3\) (части) — на столько частей девочек больше; это 9 человек.
-
\(9 : 3 = 3\) (чел.) — приходится на одну часть.
-
\(3 \cdot 4 = 12\) (мальчиков).
-
\(3 \cdot 7 = 21\) (девочка).
Проверка: \(21 - 12 = 9\), \(12 : 21 = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}\). Верно.
Ответ
Велосипедист проехал 18 км за 1 ч 30 мин. Найдите отношение пройденного пути ко времени движения в километрах в час и в метрах в минуту.
Подсказка
Путь и время — разнородные величины, их отношение — скорость. Сначала выразите время в часах, затем в минутах.
Решение
- путь 18 км
- время 1 ч 30 мин
- отношение пути ко времени в км/ч и в м/мин
-
1 ч 30 мин \(= 1{,}5\) ч.
-
\(18 : 1{,}5 = 12\) (км/ч).
-
18 км \(= 18\,000\) м, 1 ч 30 мин \(= 90\) мин.
-
\(18\,000 : 90 = 200\) (м/мин).
Это одна и та же скорость, записанная в разных единицах.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите стаканы и воду: «Морс разводят так — на 1 стакан сока 3 стакана воды. Это отношение 1 к 3». Спросите, во сколько раз воды больше и какую часть составляет сок от воды. Затем задача на деление: «Нужно 8 стаканов морса. Сколько сока и сколько воды?» Пусть ребёнок сам догадается, что всего 4 части, на одну часть — 2 стакана, сока 2 стакана, воды 6.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем отношение 2 к 5 отличается от отношения 5 к 2? 2) Как найти отношение 3 кг к 500 г? 3) Как разделить 50 конфет между двумя ребятами в отношении 2 к 3?
На что обратить внимание. Следите, чтобы ребёнок всегда проверял единицы измерения и порядок членов отношения. При делении в отношении приучайте к проверке: части в сумме должны дать исходное число.