Какие утверждения о сумме двух чисел с разными знаками верны?

Знак суммы совпадает со знаком слагаемого с большим модулем

Сумма противоположных чисел равна нулю

Сумма меньше положительного слагаемого и больше отрицательного

Сумма всегда отрицательна

Сумма больше каждого из слагаемых

Какой знак у суммы -61/2 + 43/4?

Знак определить нельзя

Сложение чисел с разными знаками

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение отрицательных чисел

Коротко о главном

Чтобы сложить два числа с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший и перед результатом ставят знак того слагаемого, у которого модуль больше.

-9 + 5 = -(9 - 5) = -4, \qquad -5 + 9 = +(9 - 5) = 4

Подробное объяснение

Долг и деньги

На балансе телефона было −40 р.: оператор дал позвонить в долг. Мама положила на счёт 100 р. Сколько стало? Сначала 40 р. уйдут на погашение долга, а остаток, $$100 - 40 = 60$$ р., останется на счёте:

\[-40 + 100 = 60.\]

А если бы положили только 30 р.? Их не хватит, чтобы закрыть долг: он уменьшится, но не исчезнет. Останется долг $$40 - 30 = 10$$ р.:

\[-40 + 30 = -10.\]

В обоих случаях одно число «съедает» часть другого. Поэтому модули слагаемых не складывают, а вычитают. А знак ответа зависит от того, чего было больше — долга или денег.

На координатной прямой

Прибавить положительное число — значит сдвинуть точку вправо, отрицательное — влево. Найдём $$-6 + 4$$ : от нуля уходим влево к точке $$-6$$ , потом возвращаемся на 4 единичных отрезка вправо и попадаем в $$-2$$ . Вернуться до нуля не хватило: от нуля мы остались левее на $$6 - 4 = 2$$ отрезка.

Теперь $$-4 + 6$$ : уходим влево на 4, а вправо идём на 6. Нуль пройден, и мы правее его на те же $$6 - 4 = 2$$ отрезка. Получилось $$2$$ .

Две координатные прямые. На верхней синяя дуга ведёт от 0 влево к −6, красная от −6 вправо на 4 к −2. На нижней синяя дуга от 0 влево к −4, красная от −4 вправо на 6 к 2. — Модули слагаемых одни и те же, 6 и 4, и сумма по модулю равна 6 − 4 = 2, но знак у неё как у слагаемого с большим модулем.

Модули слагаемых в обоих примерах одинаковые — 6 и 4. Модуль суммы тоже одинаковый — их разность 2. Отличается только знак: он такой, каким было «более длинное» движение.

Правило

Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, надо:

найти модули чисел и из большего модуля вычесть меньший;
поставить перед полученным числом знак слагаемого с большим модулем.

Например, $$12 + (-30) = -(30 - 12) = -18$$ , потому что $$|-30| > |12|$$ . А $$-1{,}4 + 2{,}9 = +(2{,}9 - 1{,}4) = 1{,}5$$ , потому что $$|2{,}9| > |-1{,}4|$$ . Знак «+» перед ответом обычно не пишут.

Особые случаи

Если модули слагаемых равны, то числа противоположные и их сумма равна нулю: $$-7{,}5 + 7{,}5 = 0$$ . Это согласуется с правилом: $$7{,}5 - 7{,}5 = 0$$ , а у нуля знака нет.

Если одно из слагаемых — нуль, сумма равна другому слагаемому: $$-3 + 0 = -3$$ .

Что можно сказать о сумме заранее

Сумма лежит между слагаемыми: она меньше положительного слагаемого и больше отрицательного. Например, $$-2$$ лежит между $$-6$$ и $$4$$ .
Модуль суммы меньше большего из модулей слагаемых.
Знак суммы виден сразу, ещё до вычислений: достаточно сравнить модули.

Это хорошая самопроверка. Если при сложении $$-8$$ и $$3$$ получилось $$-11$$ или $$5$$ , где-то ошибка: ответ должен оказаться между $$-8$$ и $$3$$ .

Дробные слагаемые

Минус относится ко всему числу, вместе с дробной частью. Поэтому сначала вычитают смешанные числа, как в 5 классе, а потом ставят знак:

-1\dfrac{1}{4} + 3\dfrac{1}{2} = +\left(3\dfrac{2}{4} - 1\dfrac{1}{4}\right) = 2\dfrac{1}{4}.

Как решать задачи

Посмотрите на знаки. Если они разные — работает это правило; если оба отрицательные — модули складывают.
Выпишите модули слагаемых и сравните их.
Из большего модуля вычтите меньший. Для обыкновенных дробей и смешанных чисел сначала приведите дроби к общему знаменателю.
Поставьте перед результатом знак слагаемого с большим модулем.
Проверьте: ответ лежит между слагаемыми.
В текстовой задаче запишите рост, подъём, приход положительным числом, а понижение, спуск, расход — отрицательным, и прибавьте изменение к начальному значению.
Если слагаемых больше двух, складывайте по порядку и на каждом шаге заново смотрите на знаки.

Разобранные примеры

База

Два целых числа

Условие

Найдите суммы: а) $$-34 + 19$$ ; б) $$52 + (-17)$$ .

Решение

а) Модули 34 и 19, больший у числа $$-34$$ . Разность модулей $$34 - 19 = 15$$ , знак «−»: $$-34 + 19 = -15$$ .

б) Модули 52 и 17, больший у числа $$52$$ . Разность модулей $$52 - 17 = 35$$ , знак «+»: $$52 + (-17) = 35$$ .

Проверка: $$-15$$ лежит между $$-34$$ и $$19$$ , а $$35$$ — между $$-17$$ и $$52$$ . Верно.

Ответ: а)

\(-15\)

; б)

\(35\)

Средний

Смешанные числа

Условие

Найдите сумму $-2\dfrac{3}{8} + 4\dfrac{1}{6}$ .

Решение

Модули $2\dfrac{3}{8}$ и $4\dfrac{1}{6}$ . Больший — у положительного числа $4\dfrac{1}{6}$ , значит, сумма положительна.
Разность модулей. Общий знаменатель дробей 24:

4\dfrac{1}{6} - 2\dfrac{3}{8} = 4\dfrac{4}{24} - 2\dfrac{9}{24} = 3\dfrac{28}{24} - 2\dfrac{9}{24} = 1\dfrac{19}{24}.

Ставим знак «+» (его можно не писать):

-2\dfrac{3}{8} + 4\dfrac{1}{6} = 1\dfrac{19}{24}.

Ответ:

1\dfrac{19}{24}

Сложный

Батискаф

Условие

Батискаф находился на отметке −145,5 м (на 145,5 м ниже поверхности воды). Он поднялся на 62,8 м, затем опустился на 18,4 м, а потом поднялся ещё на 96 м. На какой отметке он оказался?

Дано

начальная отметка −145,5 м
изменения +62,8 м
−18,4 м
+96 м

Найти

конечную отметку

Решение

Складываем по порядку, каждый раз выбирая правило по знакам.

$$-145{,}5 + 62{,}8 = -(145{,}5 - 62{,}8) = -82{,}7$$ (м) — знаки разные, больший модуль у отрицательного числа.
$$-82{,}7 + (-18{,}4) = -(82{,}7 + 18{,}4) = -101{,}1$$ (м) — оба числа отрицательные, модули складываем.
$$-101{,}1 + 96 = -(101{,}1 - 96) = -5{,}1$$ (м) — знаки разные, больший модуль снова у отрицательного числа.

Проверка смыслом: после последнего подъёма на 96 м батискаф не мог вынырнуть, ведь он был глубже 101 м. Отрицательный ответ согласуется с этим.

Ответ: −5,1 м, то есть 5,1 м ниже поверхности воды.

Типичные ошибки

Складывают модули, хотя знаки разные

Почему неверно

Ученик пишет $$-8 + 3 = -11$$ : он помнит, что у отрицательных чисел модули складывают, и применяет это правило везде. Но прибавить $$3$$ — значит сдвинуться вправо, к нулю, а $$-11$$ лежит левее $$-8$$ . Сумма не может быть меньше обоих слагаемых, если одно из них положительное.

Как правильно

Сначала посмотрите на знаки. Они разные — модули вычитают: $$-8 + 3 = -(8 - 3) = -5$$ . Число $$-5$$ лежит между $$-8$$ и $$3$$ .

Ставят знак первого слагаемого, а не слагаемого с большим модулем

Почему неверно

Ученик пишет $$4 + (-9) = 5$$ или $$-4 + 9 = -5$$ : разность модулей найдена верно, а знак взят «у первого числа» или «у того, что с минусом». Но знак решает не порядок записи, а то, какой модуль больше. Если на счёте 4 р., а списали 9 р., получится долг, а не 5 р. на счёте.

Как правильно

Перед вычитанием сравните модули и запомните, у кого больше: $$|-9| > |4|$$ , поэтому $$4 + (-9) = -(9 - 4) = -5$$ ; $$|9| > |-4|$$ , поэтому $$-4 + 9 = 9 - 4 = 5$$ .

Вычитают целые и дробные части по отдельности «как удобно»

Почему неверно

В сумме $-2\dfrac{3}{4} + 5\dfrac{1}{4}$ ученик вычитает целые части, $$5 - 2 = 3$$ , а у дробей отнимает меньшую из большей: $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ , и пишет $3\dfrac{1}{2}$ . Но вычитать нужно всё число $2\dfrac{3}{4}$ из $5\dfrac{1}{4}$ , а $\dfrac{3}{4}$ больше, чем $\dfrac{1}{4}$ , — здесь нужно занимать единицу.

Как правильно

Вычитайте модули целиком по правилам 5 класса: $5\dfrac{1}{4} - 2\dfrac{3}{4} = 4\dfrac{5}{4} - 2\dfrac{3}{4} = 2\dfrac{2}{4} = 2\dfrac{1}{2}$ . Больший модуль у положительного числа, поэтому $-2\dfrac{3}{4} + 5\dfrac{1}{4} = 2\dfrac{1}{2}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите сумму $$-43 + 18$$ .

Подсказка

Из большего модуля вычтите меньший и поставьте знак слагаемого с большим модулем.

Решение

Модули слагаемых: $$|-43| = 43$$ , $$|18| = 18$$ . Больший модуль у числа $$-43$$ .
Разность модулей: $$43 - 18 = 25$$ .
Ставим знак слагаемого $$-43$$ , то есть «−»: $$-43 + 18 = -(43 - 18) = -25$$ .

Ответ

−25

База Задача 2

Утром термометр показывал −9 °C. К обеду потеплело на 14 °C. Какая температура стала в обед?

Подсказка

Потепление на 14 °C — это изменение температуры на +14 °C.

Решение

Дано

утром −9 °C
изменение +14 °C

Найти

температуру в обед

Новая температура равна сумме прежней температуры и изменения. Модули слагаемых 9 и 14, больший — у положительного числа:

$$-9 + 14 = +(14 - 9) = 5$$ (°C).

Ответ

5 °C

Средний Задача 3

Найдите сумму $$-5{,}6 + 8{,}25$$ .

Подсказка

Сравните модули 5,6 и 8,25 — больший у положительного слагаемого.

Решение

Модули: $$5{,}6$$ и $$8{,}25$$ ; больший модуль у числа $$8{,}25$$ , поэтому сумма положительна.
Разность модулей: $$8{,}25 - 5{,}6 = 2{,}65$$ .

Значит, $$-5{,}6 + 8{,}25 = 2{,}65$$ .

Ответ

2,65

Средний Задача 4

Найдите сумму $-3\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{3}{4}$ .

Подсказка

Больший модуль у числа $-3\dfrac{5}{6}$ . Приведите дроби к знаменателю 12.

Решение

Модули: $3\dfrac{5}{6}$ и $1\dfrac{3}{4}$ . Больший модуль у отрицательного числа, значит, сумма отрицательна.
Разность модулей:

3\dfrac{5}{6} - 1\dfrac{3}{4} = 3\dfrac{10}{12} - 1\dfrac{9}{12} = 2\dfrac{1}{12}.

Ставим минус:

-3\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{3}{4} = -2\dfrac{1}{12}.

Ответ

-2\dfrac{1}{12}

Сложный Задача 5

Вычислите $$-12{,}4 + 7{,}9 + (-3{,}6) + 10{,}1$$ , выполняя сложение по порядку.

Подсказка

Складывайте слева направо и на каждом шаге смотрите, одинаковые у слагаемых знаки или разные.

Решение

$$-12{,}4 + 7{,}9 = -(12{,}4 - 7{,}9) = -4{,}5$$ — знаки разные, больший модуль у отрицательного числа.
$$-4{,}5 + (-3{,}6) = -(4{,}5 + 3{,}6) = -8{,}1$$ — оба числа отрицательные, модули складываем.
$$-8{,}1 + 10{,}1 = +(10{,}1 - 8{,}1) = 2$$ — знаки разные, больший модуль у положительного числа.

Ответ

2

Сложный Задача 6

Сумма двух чисел равна $$-2{,}5$$ . Одно из них равно $$4{,}3$$ . Найдите другое число.

Подсказка

Сумма отрицательна, а известное слагаемое положительно. Значит, у неизвестного слагаемого знак «−» и модуль больше, чем 4,3.

Решение

Дано

$$4{,}3 + x = -2{,}5$$

Найти

$$x$$

Сумма отрицательна, а $$4{,}3$$ — положительное число. Если бы $$x$$ был положительным или нулём, сумма не была бы отрицательной. Значит, $$x$$ отрицателен, и знак суммы — это его знак, поэтому модуль $$x$$ больше, чем $$4{,}3$$ .
Модуль суммы равен разности модулей: $$|x| - 4{,}3 = 2{,}5$$ . Отсюда $$|x| = 4{,}3 + 2{,}5 = 6{,}8$$ .
Значит, $$x = -6{,}8$$ .

Проверка: $$4{,}3 + (-6{,}8) = -(6{,}8 - 4{,}3) = -2{,}5$$ . Верно.

Ответ

−6,8

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Сыграйте в «долги и монеты». Положите на стол 7 монет — это «−7», долг. Дайте ребёнку 4 монеты: каждой монетой он гасит одну монету долга, убирая пары. Останется 3 монеты долга — значит, $$-7 + 4 = -3$$ . Потом наоборот: долг 4, а монет 7 — после погашения у ребёнка останется 3 монеты, $$-4 + 7 = 3$$ . Пары взаимно уничтожаются, поэтому модули вычитаются, а «побеждает» то, чего было больше.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какой знак будет у суммы $$-15 + 9$$ , и как это понять, не вычисляя? 2) Может ли сумма положительного и отрицательного чисел равняться нулю? Когда? 3) Чему равна сумма $$36 + (-50)$$ ?

На что обратить внимание. Главная путаница — между двумя правилами: при одинаковых знаках модули складывают, при разных — вычитают. Пусть ребёнок перед каждым примером вслух называет: «знаки разные — вычитаю модули, больший модуль у такого-то числа». Полезна и проверка «ответ между слагаемыми». В дробных примерах следите, чтобы минус относился ко всему смешанному числу и чтобы при вычитании смешанных чисел не забывали занимать единицу.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 31	4.195, 4.196, 4.197, 4.198, 4.199, 4.200, 4.201, 4.202, 4.203, 4.204, 4.205, 4.206, 4.207, 4.208, 4.209, 4.210, 4.211, 4.212, 4.213, 4.214, 4.215, 4.216, 4.217, 4.218, 4.219, 4.220, 4.221, 4.222, 4.223, 4.224, 4.225, 4.226