Понятие множества

Что такое множество

В жизни мы часто говорим о наборах: класс учеников, стая птиц, коллекция марок. В математике любой такой набор называют множеством. Множество может состоять из чисел, букв, фигур, городов — из чего угодно.

Множества обозначают прописными латинскими буквами \(A\), \(B\), \(C\)…, а их элементы перечисляют в фигурных скобках. Например, множество цифр, которыми записывают нечётные числа:

Порядок записи неважен: \(\{1, 3, 5\}\) и \(\{5, 1, 3\}\) — одно и то же множество. Каждый элемент записывают один раз.

Элементы множества

Каждый предмет, входящий в множество, называют его элементом. Чтобы коротко записать «3 принадлежит множеству \(A\)», используют знак принадлежности: \(3 \in A\). Если число в множество не входит, знак перечёркивают: \(4 \notin A\).

Множества бывают разного размера. В множестве {Луна} — естественных спутников Земли — один элемент. Множество натуральных чисел бесконечно: самого большого натурального числа нет.

Пустое множество

Бывает, что ни один предмет не подходит под описание. Например, нет ни одного натурального числа, большего 5 и меньшего 6. Такое множество называют пустым и обозначают знаком \(\varnothing\).

Не путайте: \(\{0\}\) — не пустое множество, в нём один элемент, число 0.

Подмножество

Из множества можно выбрать часть элементов и составить новое множество. Из \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) выберем числа, большие 4: \(B = \{5, 7, 9\}\). Множество \(B\) — подмножество множества \(A\), это записывают так: \(B \subset A\). Каждый элемент \(B\) является и элементом \(A\). Пустое множество считают подмножеством любого множества.

Пересечение и объединение

Возьмём натуральные числа от 1 до 12. Пусть \(A\) — чётные из них, а \(B\) — те, что делятся на 3:

\(A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\) и \(B = \{3, 6, 9, 12\}\).

Числа 6 и 12 входят в оба множества. Множество общих элементов называют пересечением и пишут \(A \cap B = \{6, 12\}\).

Если собрать вместе все элементы обоих множеств, получится объединение: \(A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\}\). Общие числа 6 и 12 мы записали по одному разу.

У множеств может не быть общих элементов. Например, у множеств {1, 3, 5} и {2, 4} пересечение пустое: \(\{1, 3, 5\} \cap \{2, 4\} = \varnothing\).

Круги Эйлера

Множества удобно рисовать кругами или овалами — такие схемы называют кругами Эйлера. Каждое множество — свой круг, общие элементы — в общей части кругов.

Если одно множество — подмножество другого, его круг целиком лежит внутри большого. Если пересечение пустое, круги не задевают друг друга.

Схема особенно помогает в задачах на подсчёт. Пусть в классе 10 человек занимаются футболом, 7 — плаванием, а 3 — и тем и другим. Тогда хотя бы одним видом спорта занимаются не \(10 + 7 = 17\), а \(10 + 7 - 3 = 14\) человек: троих из общей части круга мы иначе посчитали бы дважды.

Как решать задачи

1. Выпишите элементы каждого множества в фигурных скобках или нарисуйте круги Эйлера.
2. Для пересечения отметьте элементы, которые есть в обоих множествах.
3. Для объединения выпишите все элементы первого множества, затем добавьте элементы второго, которых ещё нет.
4. В задаче на подсчёт начинайте заполнять схему с общей части, потом считайте «только первое» и «только второе».
5. Проверьте: в пересечении элементов не больше, чем в каждом множестве, а в объединении — не меньше.