В каких случаях удобна круговая диаграмма?

Нужно показать, из каких частей состоит целое

Нужно показать, какую долю бюджета занимает каждая статья расходов

Нужно показать, как менялась температура каждый день месяца

Части пересекаются и в сумме дают больше 100 %

Круговые диаграммы — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Проценты

Коротко о главном

Круговая диаграмма — круг, разделённый на секторы: весь круг изображает целое (100 %), а каждый сектор — его часть. Угол сектора находят так: долю части умножают на 360°.

\text{угол сектора} = 360° \cdot \dfrac{\text{часть}}{\text{целое}}

Подробное объяснение

Пирог из данных

Представьте пирог, который разрезали на куски разного размера. Сразу видно, какой кусок самый большой, а какой почти незаметен, — и все куски вместе дают целый пирог. Круговая диаграмма работает так же: круг — это целое, а секторы («куски») — его части.

Например, школьник записал, как прошли его сутки: 9 ч сна, 6 ч в школе, 3 ч на уроки дома, 2 ч на прогулки и спорт, 4 ч на другие дела. На диаграмме с первого взгляда понятно, что сон занимает больше трети суток, а прогулки — совсем маленькую часть.

Круг разделён на пять секторов — сон 9 ч (135°), школа 6 ч (90°), уроки дома 3 ч (45°), прогулки и спорт 2 ч (30°), другие дела 4 ч (60°). Сутки — 360°, один час — 15°. — Угол сектора равен 360°, умноженным на долю части; на каждый час суток приходится 15°.

Откуда берутся градусы

Полный круг — это 360°. Если целое — 100 %, то весь круг соответствует 100 %, половина круга (180°) — 50 %, четверть (90°) — 25 %, а 1 % — это $$360 : 100 = 3{,}6°$$ .

Чтобы найти угол сектора, нужно знать долю части — какую часть целого она составляет. Доля — это часть, делённая на целое. В примере с сутками сон занимает $9 : 24 = \dfrac{3}{8}$ суток, поэтому его сектор равен $360° \cdot \dfrac{3}{8} = 135°$ .

Бывает удобнее сначала найти, сколько градусов приходится на одну единицу. В сутках 24 ч, значит, на 1 ч приходится $$360 : 24 = 15°$$ . Тогда школа — $15 \cdot 6 = 90°$ , уроки — $15 \cdot 3 = 45°$ , прогулки — $15 \cdot 2 = 30°$ , другие дела — $15 \cdot 4 = 60°$ . Сложите все углы: $$135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360$$ . Так и должно быть: части вместе составляют целое.

Если доля дана в процентах, угол равен $3{,}6° \cdot$ (число процентов). Например, 30 % изображаются сектором $3{,}6 \cdot 30 = 108°$ .

Чтение диаграммы

Работает и обратный путь: по углу сектора можно узнать его долю. Сектор 72° — это $72 : 360 = \dfrac{1}{5}$ круга, то есть 20 %. Если известно целое, например 500 опрошенных, то этот сектор изображает $$500 : 5 = 100$$ человек.

Когда нужна круговая диаграмма

Круговую диаграмму используют, когда нужно наглядно показать, из каких частей состоит целое: состав продукта, расходы семьи, результаты опроса. Важно, чтобы части не пересекались и в сумме давали ровно целое. Если в опросе можно было выбрать несколько ответов и проценты в сумме больше 100, круговая диаграмма не подойдёт.

Углы часто получаются дробными, например 57,6°. Транспортиром дробный угол не отложить, поэтому при построении его округляют до целых градусов. После округления проверьте, что сумма углов осталась 360°.

Как решать задачи

Найдите целое: сложите все части (или возьмите 100 %, если даны проценты).
Найдите долю каждой части: часть разделите на целое.
Найдите угол каждого сектора: $360° \cdot$ доля. Для процентов — $3{,}6° \cdot$ число процентов.
Сложите углы. Если сумма не 360°, ищите ошибку; после округления подправьте самый большой угол.
Начертите круг и радиус от центра. От него транспортиром отложите первый угол, от новой стороны — второй, и так далее.
Закрасьте секторы разными цветами и подпишите или сделайте легенду.
Чтобы прочитать диаграмму, делайте наоборот: доля = угол : 360°, часть = целое · доля.

Разобранные примеры

База

Начинка в пироге

Условие

Начинка составляет $\dfrac{3}{8}$ массы пирога. Найдите углы секторов круговой диаграммы «начинка — тесто».

Решение

$360° \cdot \dfrac{3}{8} = 135°$ — сектор начинки.
$$360° - 135° = 225°$$ — сектор теста.

Строим круг, проводим радиус и откладываем от него 135°; остальная часть круга — тесто.

Ответ: Начинка 135°, тесто 225°.

Средний

Секции, которые выбрали ученики

Условие

В классе 25 учеников. Футболом занимаются 10 человек, баскетболом — 6, плаванием — 5, теннисом — 4. Каждый ходит в одну секцию. Найдите углы секторов круговой диаграммы и округлите их до целых.

Дано

всего 25 учеников; футбол 10
баскетбол 6
плавание 5
теннис 4

Найти

углы секторов

Решение

$$360 : 25 = 14{,}4$$ (°) — приходится на одного ученика.
$14{,}4 \cdot 10 = 144$ (°) — футбол.
$14{,}4 \cdot 6 = 86{,}4 \approx 86$ (°) — баскетбол.
$14{,}4 \cdot 5 = 72$ (°) — плавание.
$14{,}4 \cdot 4 = 57{,}6 \approx 58$ (°) — теннис.

Проверка: $$144 + 86 + 72 + 58 = 360$$ .

Ответ: Футбол 144°, баскетбол 86°, плавание 72°, теннис 58°.

Сложный

Бюджет по диаграмме

Условие

На круговой диаграмме месячных расходов семьи сектор «транспорт» имеет угол 54° и изображает 4500 руб. Сектор «питание» имеет угол 144°. Найдите все расходы за месяц и расходы на питание.

Дано

транспорт 54° — 4500 руб.
питание 144°

Найти

все расходы и расходы на питание

Решение

$$54 : 360 = 0{,}15$$ — доля транспорта, то есть 15 %.
$4500 : 0{,}15 = 30\,000$ (руб.) — все расходы.
$$144 : 360 = 0{,}4$$ — доля питания.
$30\,000 \cdot 0{,}4 = 12\,000$ (руб.) — расходы на питание.

Проверка: на 1° приходится $4500 : 54 = 83\dfrac{1}{3}$ руб., и $144 \cdot 83\dfrac{1}{3} = 12\,000$ .

Ответ: 30 000 руб. в месяц, из них 12 000 руб. на питание.

Типичные ошибки

Откладывают проценты как градусы

Почему неверно

Часть составляет 30 %, и ученик рисует сектор 30°. Но 30° — это всего $30 : 360 = \dfrac{1}{12}$ круга, примерно 8 %. Весь круг — 360°, а не 100°, поэтому числа процентов и градусов не совпадают.

Как правильно

Умножайте число процентов на 3,6: $30 \cdot 3{,}6 = 108°$ . Прикидка: 25 % — это четверть круга, прямой угол 90°, и 30 % должно быть чуть больше.

Делят не на целое

Почему неверно

В классе 12 девочек и 18 мальчиков. Ученик делит 12 на 18 и получает долю девочек $\dfrac{2}{3}$ , то есть сектор 240°. Но 18 — это не целое, а другая часть. Целое — весь класс, 30 человек.

Как правильно

Сначала найдите целое: $$12 + 18 = 30$$ . Доля девочек $12 : 30 = \dfrac{2}{5}$ , сектор $360° \cdot \dfrac{2}{5} = 144°$ , у мальчиков — 216°.

Сумма углов не равна 360°

Почему неверно

После округления углы 86,4° и 57,6° превратились в 86° и 57°, и в сумме вышло 359°. На чертеже остаётся пустой кусочек, которого нет в данных. Бывает и наоборот: ошибка в вычислениях, и секторы «не помещаются» в круг.

Как правильно

Перед построением всегда складывайте углы. Сумма должна быть ровно 360°: округляйте по правилам (57,6 ≈ 58), а лишний или недостающий градус добавьте к самому большому сектору — на глаз это незаметно.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В саду растёт 40 деревьев, из них 10 — вишни. Какой угол должен быть у сектора «вишни» на круговой диаграмме деревьев сада?

Подсказка

Сначала найдите, какую часть всех деревьев составляют вишни.

Решение

$10 : 40 = \dfrac{1}{4}$ — такую часть деревьев составляют вишни.
$360° \cdot \dfrac{1}{4} = 90°$ — угол сектора.

Ответ

90°

База Задача 2

Сектор круговой диаграммы имеет угол 72°. Сколько процентов целого он изображает?

Подсказка

Весь круг, 360°, — это 100 %.

Решение

$$72 : 360 = 0{,}2$$ — такую часть круга занимает сектор.
$0{,}2 \cdot 100 = 20$ (%) — столько процентов целого он показывает.

Ответ

20 %

Средний Задача 3

Семья потратила на отпуск 80 000 руб.: дорога — 32 000 руб., жильё — 24 000 руб., питание — 16 000 руб., экскурсии — 8000 руб. Найдите углы секторов круговой диаграммы расходов.

Подсказка

Найдите, сколько градусов приходится на 1000 руб.

Решение

Дано

всего 80 000 руб.; дорога 32 000
жильё 24 000
питание 16 000
экскурсии 8000 руб

Найти

углы секторов

$$360 : 80 = 4{,}5$$ (°) — приходится на каждую 1000 руб.
$4{,}5 \cdot 32 = 144$ (°) — дорога.
$4{,}5 \cdot 24 = 108$ (°) — жильё.
$4{,}5 \cdot 16 = 72$ (°) — питание.
$4{,}5 \cdot 8 = 36$ (°) — экскурсии.

Проверка: $$144 + 108 + 72 + 36 = 360$$ .

Ответ

Дорога 144°, жильё 108°, питание 72°, экскурсии 36°

Средний Задача 4

В опросе о любимом домашнем животном участвовали 200 человек. Сектор «кошка» на круговой диаграмме имеет угол 126°. Сколько человек выбрали кошку?

Подсказка

Узнайте, сколько градусов приходится на одного человека, или какую часть круга занимает сектор.

Решение

Дано

всего 200 человек
сектор «кошка» 126°

Найти

число выбравших кошку

$$360 : 200 = 1{,}8$$ (°) — приходится на одного человека.
$$126 : 1{,}8 = 70$$ (чел.) — выбрали кошку.

Ответ

70 человек

Сложный Задача 5

Круговая диаграмма опроса состоит из трёх секторов. Сектор А изображает 30 % опрошенных, сектор Б имеет угол 126°, остальное — сектор В. Ответ В выбрали 175 человек. Сколько человек участвовало в опросе?

Подсказка

Переведите сектор А в градусы, найдите угол сектора В и какую часть круга он занимает.

Решение

Дано

А — 30 %
Б — 126°
В — 175 человек

Найти

число опрошенных

$360 \cdot 0{,}3 = 108$ (°) — угол сектора А.
$$360 - 108 - 126 = 126$$ (°) — угол сектора В.
$$126 : 360 = 0{,}35$$ — такую часть опрошенных составляет В, то есть 35 %.
$$175 : 0{,}35 = 500$$ (чел.) — участвовало в опросе.

Проверка: $500 \cdot 0{,}35 = 175$ .

Ответ

500 человек

Сложный Задача 6

Шестиклассникам задали вопрос «В каких кружках вы занимаетесь?», и можно было назвать несколько. Получилось: туризм — 45 %, спорт — 35 %, музыка — 30 % учеников. Можно ли показать эти данные одной круговой диаграммой? Объясните.

Подсказка

Сложите проценты. Что должно получиться, если круг — это все ученики?

Решение

Сумма процентов $$45 + 35 + 30 = 110$$ (%) — больше 100 %. Это значит, что некоторые ученики попали сразу в несколько групп.

Круговая диаграмма делит целое на части, которые не пересекаются и вместе составляют ровно 100 %, то есть 360°. Здесь секторы заняли бы $360 \cdot 1{,}1 = 396$ (°) — больше полного круга. Поэтому круговая диаграмма не подходит; такие данные показывают столбчатой диаграммой.

Ответ

Нельзя — в сумме 110 %, части пересекаются

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите круглую пиццу или нарисуйте круг на бумаге. Спросите: если пиццу поделить на четверых поровну, какой будет угол у каждого куска? (360 : 4 = 90°, прямой угол.) Затем вместе опишите день ребёнка в часах — сколько сна, школы, уроков, отдыха — и посчитайте углы: каждый час — это 360 : 24 = 15°. Начертите диаграмму транспортиром и раскрасьте.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько градусов займёт сектор, изображающий половину целого? А 10 %? 2) Сектор равен 60°. Какую часть круга он занимает? 3) Можно ли построить круговую диаграмму, если доли в сумме дают 120 %? Почему?

На что обратить внимание. Самая частая ошибка — откладывать проценты как градусы (30 % → 30°). Попросите ребёнка всегда складывать полученные углы: сумма должна быть 360°. Проверьте, что он уверенно пользуется транспортиром и откладывает каждый следующий угол от стороны предыдущего сектора, а не от исходного радиуса.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 3	1.97, 1.98, 1.99, 1.100, 1.101, 1.102, 1.103, 1.104, 1.105, 1.106, 1.107, 1.108, 1.109, 1.110, 1.111, 1.112, 1.113, 1.114, 1.115, 1.116, 1.117, 1.118, 1.119, 1.120, 1.121, 1.122, 1.123, 1.124, 1.125, 1.126, 1.127, 1.128, 1.129, 1.130, 1.131, 1.132, 1.133