Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Формула — это запись правила с помощью букв. Самая известная формула в 5 классе — формула пути: путь равен скорости, умноженной на время.
Подробное объяснение
Каждый день мы пользуемся одними и теми же правилами. Чтобы узнать, сколько стоят 4 одинаковые тетради, умножаем цену на количество. Чтобы узнать, сколько проедет автобус, умножаем скорость на время. Правило одно, а числа каждый раз новые. Поэтому правило удобно записать буквами — один раз и для всех случаев. Такая запись называется формулой.
Формула пути
Если автобус едет со скоростью 50 км/ч, то за 3 ч он проедет \(50 \cdot 3 = 150\) км. Обозначим:
- \(s\) — путь (расстояние), например в километрах или метрах;
- \(v\) — скорость, например в км/ч, м/мин или м/с;
- \(t\) — время движения, в часах, минутах или секундах.
Тогда правило записывается так: \(s = vt\). Между \(v\) и \(t\) стоит умножение, знак «·» между буквами обычно не пишут.
Единицы должны быть согласованы. Если скорость в километрах в час, то время — в часах, а путь получится в километрах. Если скорость в метрах в минуту, время — в минутах, путь — в метрах.
Одна формула — три задачи
По формуле \(s = vt\) можно найти любую из трёх величин, если известны две другие. Подставляем известные числа — получается уравнение.
- Нужен путь: \(s = vt\).
- Нужна скорость: из \(s = v \cdot t\) неизвестный множитель \(v = s : t\).
- Нужно время: неизвестный множитель \(t = s : v\).
Например, велосипедист проехал 45 км со скоростью 15 км/ч. Подставляем: \(45 = 15t\), откуда \(t = 45 : 15 = 3\) ч.
Другие формулы
Формулами записывают не только движение.
- Периметр прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\): \(P = 2(a + b)\) — две стороны длины \(a\) и две стороны длины \(b\).
- Периметр квадрата со стороной \(a\): \(P = 4a\).
- Периметр равностороннего треугольника (все стороны равны \(a\)): \(P = 3a\).
- Периметр равнобедренного треугольника (две равные боковые стороны \(b\) и основание \(a\)): \(P = a + 2b\).
- Деление с остатком: \(a = bq + r\), где \(a\) — делимое, \(b\) — делитель, \(q\) — неполное частное, \(r\) — остаток, причём \(r < b\).
- Свойства действий тоже формулы: \(a + b = b + a\), \(a(b + c) = ab + ac\).
Составляем формулу к задаче
Иногда формулу нужно придумать самому. Два объекта выехали из одного места в противоположные стороны со скоростями 30 км/ч и 40 км/ч. За \(t\) ч первый проедет \(30t\) км, второй — \(40t\) км, а расстояние между ними \(s = 30t + 40t = 70t\). Число 70 здесь — на сколько километров они удаляются друг от друга за каждый час (скорость удаления).
Если объекты едут навстречу, расстояние между ними, наоборот, уменьшается на сумму скоростей каждый час. Если один догоняет другого, расстояние уменьшается на разность скоростей.
Как решать задачи
- Выпишите, что дано и что надо найти, с единицами: «Дано: \(v = 12\) км/ч, \(t = 3\) ч. Найти: \(s\)».
- Проверьте единицы: часы с км/ч, минуты с м/мин, секунды с м/с.
- Запишите формулу, которая связывает эти величины.
- Подставьте числа. Если неизвестна не та буква, что стоит слева, решите получившееся уравнение.
- Запишите ответ с единицами и прикиньте, разумен ли он: пешеход не идёт 60 км/ч.
Разобранные примеры
Путь по скорости и времени
Лодка плывёт со скоростью 9 км/ч. Какой путь она пройдёт за 4 ч?
- \(v = 9\) км/ч
- \(t = 4\) ч
- \(s\)
\(s = vt = 9 \cdot 4 = 36\) км.
Время по пути и скорости
Улитка ползёт со скоростью 6 см/мин. За сколько минут она проползёт 90 см?
- \(s = 90\) см
- \(v = 6\) см/мин
- \(t\)
Подставим в формулу \(s = vt\): \(90 = 6t\). Неизвестный множитель: \(t = 90 : 6 = 15\) мин.
Проверка: \(6 \cdot 15 = 90\) см.
Формула для погони
Собака бежит за кошкой. Между ними 40 м, скорость собаки 12 м/с, кошки — 7 м/с. Запишите формулу расстояния \(s\) между ними через \(t\) с и найдите, через сколько секунд собака догонит кошку.
- \(s_0 = 40\) м
- \(v_1 = 12\) м/с
- \(v_2 = 7\) м/с
- формулу \(s\) и время \(t\)
- когда \(s = 0\)
Каждую секунду собака пробегает на \(12 - 7 = 5\) м больше кошки, значит, расстояние сокращается на 5 м в секунду:
\(s = 40 - 12t + 7t = 40 - 5t\).
Собака догонит кошку, когда \(s = 0\), поэтому \(5t = 40\), \(t = 8\) с.
Типичные ошибки
Путь — это сколько пройдено за каждый час, взятое столько раз, сколько было часов. Это умножение, а не сложение: запись \(vt\) означает \(v \cdot t\).
\(s = vt\): при скорости 8 км/ч за 3 ч путь \(8 \cdot 3 = 24\) км, а не \(8 + 3 = 11\).
Если скорость дана в метрах в минуту, а время — в часах, произведение не имеет смысла: получится ни метры, ни километры.
Сначала переведите единицы. 2 ч при скорости 70 м/мин — это 120 мин, и путь \(70 \cdot 120 = 8400\) м.
У прямоугольника четыре стороны: две длины \(a\) и две длины \(b\). Сумма \(a + b\) — только половина периметра.
\(P = 2(a + b)\). Для сторон 5 см и 3 см: \(P = 2 \cdot 8 = 16\) см. А если известны \(P\) и \(b\), то \(a = P : 2 - b\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что обозначает буква \(t\) в формуле пути \(s = vt\)?
Показать ответ
Ответ: В) Время движения
В формуле \(s = vt\) буква \(s\) — путь, \(v\) — скорость, \(t\) — время.
-
Пешеход идёт со скоростью 5 км/ч. Сколько километров он пройдёт за 3 ч?
Показать ответ
Ответ: 15
\(s = vt = 5 \cdot 3 = 15\) км.
-
Какие формулы записаны верно?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Периметр квадрата: $P = 4a$; В) Время движения: $t = s : v$; Г) Деление с остатком: $a = bq + r$
У прямоугольника две стороны \(a\) и две стороны \(b\), поэтому \(P = 2(a + b)\), а не \(a + b\).
-
Две машины выехали из одного места в противоположные стороны со скоростями 60 км/ч и 70 км/ч. Какая формула задаёт расстояние между ними через \(t\) ч?
Показать ответ
Ответ: Б) $s = 130t$
Машины удаляются друг от друга на \(60 + 70 = 130\) км каждый час, поэтому \(s = 130t\).
-
Периметр квадрата 64 см. Найдите его сторону в сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 16
Из \(P = 4a\) следует \(a = P : 4 = 64 : 4 = 16\) см.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Поезд едет со скоростью 80 км/ч. Какой путь он пройдёт за 6 ч? Решите по формуле пути.
Подсказка
Путь равен скорости, умноженной на время.
Решение
- \(v = 80\) км/ч
- \(t = 6\) ч
- \(s\)
\(s = vt = 80 \cdot 6 = 480\) км.
Ответ
Найдите периметр прямоугольника со сторонами 12 см и 9 см по формуле \(P = 2(a + b)\).
Решение
\(P = 2(a + b) = 2 \cdot (12 + 9) = 2 \cdot 21 = 42\) см.
Ответ
Самокат проехал 3600 м за 12 мин. С какой скоростью он ехал?
Подсказка
Из формулы \(s = vt\) скорость находят делением пути на время.
Решение
- \(s = 3600\) м
- \(t = 12\) мин
- \(v\)
\(s = vt\), значит \(3600 = v \cdot 12\), \(v = 3600 : 12 = 300\) м/мин.
Ответ
При делении числа \(a\) на 9 получилось неполное частное 23 и остаток 5. Найдите \(a\) по формуле деления с остатком.
Решение
Формула деления с остатком: \(a = bq + r\), где \(b = 9\), \(q = 23\), \(r = 5\).
\(a = 9 \cdot 23 + 5 = 207 + 5 = 212\).
Проверка: \(212 : 9 = 23\) (ост. 5).
Ответ
Из двух посёлков, расстояние между которыми 60 км, одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист (14 км/ч) и мотоциклист (46 км/ч). Составьте формулу расстояния \(s\) между ними через \(t\) ч и найдите, когда они встретятся.
Подсказка
За каждый час расстояние уменьшается на сумму скоростей.
Решение
- \(s_0 = 60\) км
- \(v_1 = 14\) км/ч
- \(v_2 = 46\) км/ч
- формулу \(s\) и время встречи
За \(t\) ч они вместе проедут \(14t + 46t = 60t\) км, поэтому \(s = 60 - 60t\).
При встрече \(s = 0\), поэтому \(60t = 60\), \(t = 1\) ч.
Ответ
Равнобедренный треугольник с основанием 8 см имеет периметр 30 см. Найдите боковую сторону.
Подсказка
Периметр равнобедренного треугольника \(P = a + 2b\), где \(a\) — основание, \(b\) — боковая сторона.
Решение
- \(a = 8\) см
- \(P = 30\) см
- \(b\)
\(P = a + 2b\), значит \(30 = 8 + 2b\), \(2b = 30 - 8 = 22\), \(b = 22 : 2 = 11\) см.
Проверка: \(8 + 11 + 11 = 30\) см.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Во время прогулки засеките, сколько шагов ребёнок делает за минуту, и измерьте длину шага. Пусть посчитает, сколько метров он проходит за минуту (скорость), и спросите: «А сколько пройдёшь за 10 минут?» Затем покажите, что каждый раз он делает одно и то же — умножает скорость на время, — и запишите это буквами: \(s = vt\). Сделайте то же с периметром стола: две длины и две ширины.
Вопросы для проверки понимания: 1) Что обозначает каждая буква в формуле \(s = vt\)? 2) Как найти время, если известны путь и скорость? 3) Почему периметр прямоугольника \(2(a + b)\), а не \(a + b\)?
На что обратить внимание. Главные трудности — согласование единиц (км/ч и минуты) и нахождение скорости или времени: здесь нужно видеть уравнение \(s = vt\) и искать неизвестный множитель делением. В задачах на встречное движение и погоню попросите сначала сказать словами, на сколько меняется расстояние за 1 ч.