Порядок действий в вычислениях

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Деление натуральных чисел

Коротко о главном

Сначала выполняют действия в скобках, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание. Действия одной ступени, идущие подряд, выполняют слева направо.

20 - 12 : 4 = 17, \qquad (20 - 12) : 4 = 2

Подробное объяснение

Попробуй посчитать $2 + 3 \cdot 4$ . Если идти просто слева направо, выйдет $5 \cdot 4 = 20$ . Если сначала умножить, выйдет $$2 + 12 = 14$$ . Два разных ответа у одного примера — так быть не должно. Поэтому математики договорились о едином порядке действий, и теперь любой человек получит из одного выражения одно и то же число. Правильный ответ здесь — $$14$$ .

Две ступени действий

Четыре арифметических действия делят на две группы.

Первая ступень — сложение и вычитание.
Вторая ступень — умножение и деление.

Вторая ступень «сильнее»: умножение — это сокращённая запись сложения одинаковых слагаемых, поэтому его выполняют раньше.

Три правила

Скобок нет, действия одной ступени. Выполняй их по порядку, слева направо. $$30 - 10 + 5 = 20 + 5 = 25$$ , а не $$30 - 15$$ . $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$ , а не $$24 : 8$$ .
Скобок нет, есть обе ступени. Сначала все умножения и деления (слева направо), потом все сложения и вычитания (слева направо).
Есть скобки. Сначала вычисли то, что в скобках, — внутри скобок тоже действуют правила 1 и 2. Потом работай с выражением без скобок.

Перед вычислением полезно пронумеровать действия: подписать над знаками $1, 2, 3, \ldots$ Так видно весь план, и ни одно действие не потеряется.

Когда скобки можно не писать

Скобки ставят, чтобы изменить обычный порядок. Если порядок и без них тот же, скобки можно опустить: $$(35 - 10) + 4 = 35 - 10 + 4$$ , ведь вычитание и так идёт первым. А в $$35 - (10 + 4)$$ скобки убрать нельзя: получится $$29$$ вместо $$21$$ .

Свойства сложения и умножения позволяют менять порядок действий, чтобы считать удобнее: $25 \cdot 17 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 1700$ .

Алгоритм и схема

Каждое выражение — это готовый алгоритм: список команд, которые выполняются одна за другой. Например, для $(300 - 12 \cdot 15) : (4 + 36 : 9)$ команды такие: перемножить $$12$$ и $$15$$ ; вычесть результат из $$300$$ ; разделить $$36$$ на $$9$$ ; прибавить результат к $$4$$ ; разделить результат второй команды на результат четвёртой.

Алгоритм удобно нарисовать схемой: в окошки пишут числа, стрелки показывают, куда передаётся результат.

Схема-дерево для выражения (300 − 12 · 15) : (4 + 36 : 9). Сверху два умножения-деления, под ними вычитание и сложение, их результаты 120 и 8 делятся, внизу ответ 15; кружками отмечен порядок команд 1–5. — Каждая стрелка передаёт результат команды в следующее окошко; номера показывают порядок действий.

Как решать задачи

Найди скобки. Если они есть — начинай с самых внутренних.
Внутри скобок и вне их отметь умножения и деления — они идут раньше.
Пронумеруй действия над знаками.
Выполняй по номерам, записывая каждое действие отдельной строкой.
Проверь: все ли действия выполнены и не пропущено ли число.

Разобранные примеры

База

Выражение без скобок

Условие

Найдите значение выражения $90 - 36 : 4 \cdot 2 + 15$ .

Решение

Скобок нет. Сначала деление и умножение слева направо, потом вычитание и сложение слева направо.

$$36 : 4 = 9$$
$9 \cdot 2 = 18$
$$90 - 18 = 72$$
$$72 + 15 = 87$$

Ответ: 87

Средний

Выражение с двумя парами скобок

Условие

Вычислите $5 \cdot (64 - 8 \cdot 7) + 120 : (15 - 7)$ .

Решение

Сначала первая скобка: внутри неё умножение раньше вычитания.

$8 \cdot 7 = 56$
$$64 - 56 = 8$$

Вторая скобка:

$$15 - 7 = 8$$

Теперь выражение без скобок $5 \cdot 8 + 120 : 8$ :

$5 \cdot 8 = 40$
$$120 : 8 = 15$$
$$40 + 15 = 55$$

Ответ: 55

Сложный

Алгоритм по выражению

Условие

Составьте алгоритм вычисления выражения $(300 - 12 \cdot 15) : (4 + 36 : 9)$ и найдите его значение.

Решение

Перемножить $$12$$ и $$15$$ , получаем $$180$$ .
Из $$300$$ вычесть результат команды 1: $$300 - 180 = 120$$ .
Разделить $$36$$ на $$9$$ , получаем $$4$$ .
К $$4$$ прибавить результат команды 3: $$4 + 4 = 8$$ .
Результат команды 2 разделить на результат команды 4: $$120 : 8 = 15$$ .

Ответ: 15

Типичные ошибки

Считают всё подряд слева направо

Почему неверно

В $18 + 2 \cdot 5$ ученик пишет $20 \cdot 5 = 100$ . Но умножение — действие второй ступени, его выполняют раньше сложения, даже если оно стоит правее.

Как правильно

$2 \cdot 5 = 10$ , $$18 + 10 = 28$$ . Перед счётом пронумеруйте действия: сначала все умножения и деления.

Сначала складывают, потом вычитают

Почему неверно

В $$50 - 20 + 10$$ делают сложение первым: $$50 - 30 = 20$$ . Но сложение и вычитание — одна ступень, у них нет «старшинства», и порядок определяется только положением.

Как правильно

Слева направо: $$50 - 20 = 30$$ , $$30 + 10 = 40$$ . То же с делением и умножением: $48 : 6 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$ , а не $$48 : 12$$ .

Теряют скобки при записи выражения по алгоритму

Почему неверно

Команды «сложить $$7$$ и $$3$$ , результат умножить на $$5$$ » записывают как $7 + 3 \cdot 5$ . По правилам это $$7 + 15 = 22$$ , а по алгоритму должно быть $$50$$ .

Как правильно

Если действие первой ступени по алгоритму выполняется раньше умножения или деления, его берут в скобки: $(7 + 3) \cdot 5 = 50$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите значение выражения $$72 - 48 : 6 + 5$$ .

Подсказка

Деление выполняется раньше вычитания и сложения.

Решение

$$48 : 6 = 8$$ ; 2) $$72 - 8 = 64$$ ; 3) $$64 + 5 = 69$$ .

Ответ

69

База Задача 2

Найдите значение выражения $$(72 - 48) : 6 + 5$$ .

Подсказка

Сначала — действие в скобках.

Решение

$$72 - 48 = 24$$ ; 2) $$24 : 6 = 4$$ ; 3) $$4 + 5 = 9$$ .

Ответ

9

Средний Задача 3

Вычислите: $96 : 8 \cdot 3 - 150 : 5 : 3$ .

Подсказка

Умножение и деление, идущие подряд, выполняйте слева направо.

Решение

$$96 : 8 = 12$$ ; 2) $12 \cdot 3 = 36$ ; 3) $$150 : 5 = 30$$ ; 4) $$30 : 3 = 10$$ ; 5) $$36 - 10 = 26$$ .

Ответ

26

Средний Задача 4

Запишите выражение по алгоритму и найдите его значение: 1) из 200 вычесть 56; 2) результат разделить на 12; 3) к 7 прибавить результат команды 2.

Решение

Выражение $$7 + (200 - 56) : 12$$ . 1) $$200 - 56 = 144$$ ; 2) $$144 : 12 = 12$$ ; 3) $$7 + 12 = 19$$ . Скобки нужны, иначе первым выполнится деление.

Ответ

7 + (200 − 56) : 12 = 19

Сложный Задача 5

Расставьте скобки так, чтобы равенство стало верным: $48 : 6 + 2 \cdot 3 = 18$ .

Подсказка

Без скобок получается 14. Попробуйте сделать делитель больше.

Решение

Без скобок: $$8 + 6 = 14$$ . Скобки $(48 : 6 + 2) \cdot 3$ дают $10 \cdot 3 = 30$ . Скобки $48 : (6 + 2) \cdot 3$ дают $$6 + 2 = 8$$ , $$48 : 8 = 6$$ , $6 \cdot 3 = 18$ — подходит.

Ответ

48 : (6 + 2) · 3 = 18

Сложный Задача 6

Не вычисляя, объясните, почему значения выражений $$500 - 120 - 80$$ и $$500 - (120 + 80)$$ равны. Найдите это значение.

Решение

Вычесть из числа два числа подряд — то же, что вычесть их сумму: это свойство вычитания. Удобнее считать второе: $$120 + 80 = 200$$ , $$500 - 200 = 300$$ .

Ответ

300

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Напишите на листке $2 + 3 \cdot 4$ и попросите ребёнка посчитать, а потом наберите то же самое на простом кнопочном калькуляторе: он считает по мере ввода и покажет 20, тогда как верный ответ — 14. Разница в ответах — хороший повод поговорить, зачем нужен договор о порядке. Затем покажите, как скобки «перебивают» правило: $(2 + 3) \cdot 4$ .

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие действия относятся к первой ступени, а какие ко второй? 2) Что делать первым в $60 : 5 \cdot 2$ — делить или умножать? 3) Можно ли убрать скобки в выражении $$(40 - 8) - 2$$ ?

На что обратить внимание. Попросите ребёнка расставлять номера действий над знаками и записывать каждое действие отдельной строкой — это убирает почти все ошибки. Особенно следите за цепочками вроде $a : b \cdot c$ и $$a - b + c$$ : их часто считают справа налево.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 16	3.264, 3.265, 3.266, 3.267, 3.268, 3.269, 3.270, 3.271, 3.272, 3.273, 3.274, 3.275, 3.276, 3.277, 3.278, 3.279, 3.280, 3.281, 3.282, 3.283, 3.284, 3.285, 3.286, 3.287, 3.288, 3.289, 3.290, 3.291, 3.292, 3.293, 3.294, 3.295, 3.296