Чему равен коэффициент выражения -x · y?

У него нет коэффициента

Какой знак у коэффициента выражения -2a · (-3b) · (-c)?

Зависит от значений букв

Коэффициент — 6 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Если выражение — произведение числа и одной или нескольких букв, числовой множитель называют коэффициентом. Чтобы его найти, перемножают все числа выражения, а буквы записывают после него.

1{,}4x \cdot (-0{,}6z) = -0{,}84xz, \text{ коэффициент } -0{,}84

Подробное объяснение

Откуда берётся коэффициент

Купили 3 упаковки печенья, в каждой упаковке 2 пачки, а в пачке $$n$$ печений. Всего печений $3 \cdot 2 \cdot n$ . Сколько именно, мы не знаем — неизвестно $$n$$ . Но числа можно перемножить уже сейчас: $3 \cdot 2 \cdot n = 6n$ . Запись стала короче, а смысл не изменился: печений в 6 раз больше, чем в одной пачке.

Это работает благодаря свойствам умножения: множители можно менять местами и группировать как угодно. Значит, в любом произведении можно собрать числа отдельно, а буквы отдельно:

-3a \cdot 0{,}5b = (-3 \cdot 0{,}5) \cdot (a \cdot b) = -1{,}5ab.

Что такое коэффициент

Числовой множитель в выражении, которое является произведением числа и одной или нескольких букв, называют числовым коэффициентом, или просто коэффициентом. Обычно его пишут впереди, перед буквами, а знак умножения между ними опускают: $$7xy$$ , $$-2{,}5m$$ , $\dfrac{3}{4}k$ . Коэффициенты здесь — $$7$$ , $$-2{,}5$$ и $\dfrac{3}{4}$ .

Пока выражение не упрощено, чисел в нём может быть несколько. В записи $5 \cdot a \cdot (-2) \cdot b$ ни $$5$$ , ни $$-2$$ ещё не коэффициенты. Коэффициент — их произведение: $5 \cdot (-2) \cdot ab = -10ab$ , он равен $$-10$$ . После упрощения у выражения ровно один коэффициент.

Коэффициенты 1 и −1

Если перед буквами нет числа, коэффициент всё равно есть. Выражение $$x$$ можно записать как $1 \cdot x$ , поэтому его коэффициент равен $$1$$ . Так же у $$ab$$ коэффициент $$1$$ .

Выражение $$-x$$ — это $-1 \cdot x$ , его коэффициент равен $$-1$$ . Единицу перед буквами не пишут: вместо $$1ab$$ пишут $$ab$$ , вместо $$-1ab$$ — $$-ab$$ .

Знак коэффициента

Знак коэффициента зависит от того, сколько в произведении отрицательных множителей. Это правило знаков при умножении:

чётное число отрицательных множителей (0, 2, 4…) — коэффициент положительный;
нечётное число (1, 3, 5…) — отрицательный.

Не забывайте про минус перед буквой: $$-a$$ содержит множитель $$-1$$ . Например, в $-a \cdot (-b) \cdot (-c)$ три отрицательных множителя, поэтому выражение равно $$-abc$$ .

Зачем это нужно

Упрощённое выражение короче, и считать по нему проще. Значение выражения $2{,}5a \cdot (-4b)$ при $$a = 3$$ , $$b = 7$$ можно искать долго, а можно сначала упростить: $$-10ab$$ , и тогда $-10 \cdot 21 = -210$ . Позже коэффициенты понадобятся, чтобы складывать похожие слагаемые и решать уравнения.

Как решать задачи

Выпишите все числовые множители выражения. Минус перед буквой считайте множителем $$-1$$ .
Посчитайте отрицательные множители: чётное количество — знак коэффициента «+», нечётное — «−».
Перемножьте модули числовых множителей. Ищите удобные пары: $0{,}25 \cdot 4 = 1$ , $2{,}5 \cdot 4 = 10$ , $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{3} = 1$ .
Запишите коэффициент со знаком, а за ним все буквы без знаков умножения.
Если коэффициент получился $$1$$ или $$-1$$ , единицу не пишите: $$ab$$ , $$-ab$$ .
Проверьте: подставьте вместо букв простые числа в исходное и в упрощённое выражение — значения должны совпасть.

Разобранные примеры

База

Упростить произведение двух множителей

Условие

Упростите выражение $-6a \cdot 0{,}5b$ и назовите его коэффициент.

Решение

Числовые множители: $-6 \cdot 0{,}5 = -3$ — множители разных знаков.
Буквенные множители: $a \cdot b = ab$ .
$-6a \cdot 0{,}5b = -3ab$ .

Проверка: при $$a = 1$$ , $$b = 2$$ исходное выражение равно $-6 \cdot 1 \cdot 0{,}5 \cdot 2 = -6$ , упрощённое — $-3 \cdot 1 \cdot 2 = -6$ . Верно.

Ответ:

\(-3ab\)

, коэффициент

\(-3\)

.

Средний

Произведение с дробями и тремя минусами

Условие

Упростите выражение $-1\dfrac{1}{3}x \cdot \left(-\dfrac{3}{8}y\right) \cdot (-z)$ .

Решение

Числовые множители: $-1\dfrac{1}{3}$ , $-\dfrac{3}{8}$ и $$-1$$ (из $$-z$$ ). Отрицательных множителей три — коэффициент отрицательный.
Модуль коэффициента:

1\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{8} \cdot 1 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{4 \cdot 3}{3 \cdot 8} = \dfrac{1}{2}.

Буквенные множители: $$xyz$$ .

Ответ:

-\dfrac{1}{2}xyz

Сложный

Сначала упростить, потом подставить

Условие

Найдите значение выражения $-0{,}4a \cdot 25b \cdot (-c)$ при $$a = -2$$ , $$b = 0{,}5$$ , $$c = 3$$ .

Решение

Упростим. Числовые множители: $$-0{,}4$$ , $$25$$ и $$-1$$ (из $$-c$$ ). Отрицательных два — коэффициент положительный. Модуль: $0{,}4 \cdot 25 \cdot 1 = 10$ . Значит, выражение равно $$10abc$$ .
Подставим значения: $10 \cdot (-2) \cdot 0{,}5 \cdot 3$ .
$10 \cdot (-2) = -20$ ; $-20 \cdot 0{,}5 = -10$ ; $-10 \cdot 3 = -30$ .

Проверка по исходному выражению: $-0{,}4 \cdot (-2) = 0{,}8$ ; $25 \cdot 0{,}5 = 12{,}5$ ; $$-c = -3$$ ; $0{,}8 \cdot 12{,}5 \cdot (-3) = 10 \cdot (-3) = -30$ . Верно.

Ответ:

\(-30\)

Типичные ошибки

Называют коэффициентом первое число в записи

Почему неверно

В выражении $3 \cdot a \cdot (-4) \cdot b$ ученик отвечает: «коэффициент 3». Но в произведении два числовых множителя, и ни один из них по отдельности не коэффициент. Коэффициент появляется только после того, как все числа перемножены.

Как правильно

Сначала упростите: $3 \cdot (-4) \cdot ab = -12ab$ . Коэффициент равен $$-12$$ .

Считают, что у выражений $x$ и $-x$ нет коэффициента

Почему неверно

Раз число перед буквой не написано, кажется, что коэффициента нет или он равен нулю. Но $0 \cdot x = 0$ , а не $$x$$ .

Как правильно

Единицу просто не пишут: $x = 1 \cdot x$ , поэтому коэффициент равен $$1$$ ; $-x = -1 \cdot x$ , поэтому коэффициент равен $$-1$$ .

Теряют минус, стоящий перед буквой

Почему неверно

Упрощая $-a \cdot (-2b)$ , ученик видит только одно отрицательное число, $$-2$$ , и пишет $$-2ab$$ . Минус перед $$a$$ он не посчитал, а это тоже отрицательный множитель.

Как правильно

Запишите $$-a$$ как $-1 \cdot a$ . Отрицательных множителей два: $$-1$$ и $$-2$$ . Их произведение $$2$$ , и $-a \cdot (-2b) = 2ab$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Упростите выражение $4a \cdot (-5b)$ и назовите его коэффициент.

Подсказка

Перемножьте отдельно числа и отдельно буквы.

Решение

Числовые множители: $4 \cdot (-5) = -20$ — множители разных знаков, произведение отрицательное.
Буквенные множители: $a \cdot b = ab$ .
$4a \cdot (-5b) = -20ab$ , коэффициент равен $$-20$$ .

Ответ

\(-20ab\)

; коэффициент −20

База Задача 2

Назовите коэффициенты выражений $$-m$$ , $$xy$$ и $\dfrac{2}{3}k$ .

Подсказка

Если число перед буквами не написано, вспомните, что $m = 1 \cdot m$ .

Решение

$-m = -1 \cdot m$ , поэтому коэффициент выражения $$-m$$ равен $$-1$$ .
$xy = 1 \cdot xy$ , поэтому коэффициент выражения $$xy$$ равен $$1$$ .
В выражении $\dfrac{2}{3}k$ числовой множитель стоит перед буквой — это и есть коэффициент, $\dfrac{2}{3}$ .

Ответ

\(-1\)

;

\(1\)

;

\dfrac{2}{3}

Средний Задача 3

Упростите выражение $-0{,}25x \cdot (-1{,}2y) \cdot 8$ .

Подсказка

Сначала определите знак коэффициента по числу отрицательных множителей.

Решение

Числовые множители: $$-0{,}25$$ , $$-1{,}2$$ и $$8$$ . Отрицательных множителей два — чётное число, значит, коэффициент положительный.
Модуль коэффициента: $0{,}25 \cdot 8 \cdot 1{,}2 = 2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4$ . Удобно сначала умножить $$0{,}25$$ на $$8$$ .
Буквенные множители: $x \cdot y = xy$ .

-0{,}25x \cdot (-1{,}2y) \cdot 8 = 2{,}4xy.

Ответ

\(2{,}4xy\)

Средний Задача 4

Упростите выражение $\dfrac{5}{6}m \cdot \left(-1\dfrac{1}{5}n\right)$ и назовите его коэффициент.

Подсказка

Обратите смешанное число в неправильную дробь.

Решение

$1\dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}$ .
Числовые множители: $\dfrac{5}{6} \cdot \left(-\dfrac{6}{5}\right) = -\dfrac{5 \cdot 6}{6 \cdot 5} = -1$ .
Буквенные множители: $m \cdot n = mn$ .

\dfrac{5}{6}m \cdot \left(-1\dfrac{1}{5}n\right) = -1 \cdot mn = -mn.

Коэффициент равен $$-1$$ ; единицу перед буквами не пишут, остаётся только знак минус.

Ответ

\(-mn\)

; коэффициент −1

Сложный Задача 5

Какой знак у коэффициента выражения $-a \cdot (-2b) \cdot (-3c) \cdot (-0{,}5d) \cdot (-k)$ ? Упростите это выражение.

Подсказка

Минус перед буквой — тоже отрицательный множитель, $-a = -1 \cdot a$ . Посчитайте все минусы.

Решение

Запишем числовые множители: $$-1$$ (из $$-a$$ ), $$-2$$ , $$-3$$ , $$-0{,}5$$ , $$-1$$ (из $$-k$$ ). Отрицательных множителей пять — нечётное число, значит, коэффициент отрицательный.
Модуль коэффициента: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 3$ .
Буквенные множители: $$abcdk$$ .

-a \cdot (-2b) \cdot (-3c) \cdot (-0{,}5d) \cdot (-k) = -3abcdk.

Ответ

Знак минус;

\(-3abcdk\)

Сложный Задача 6

Длина коробки $$4x$$ см, ширина $$2{,}5y$$ см, высота $$3z$$ см. Запишите её объём выражением с коэффициентом и найдите объём при $$x = 2$$ , $$y = 1$$ , $$z = 0{,}5$$ .

Подсказка

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты.

Решение

Дано

длина $$4x$$ см
ширина $$2{,}5y$$ см
высота $$3z$$ см

Найти

объём в общем виде и при $$x = 2$$
$$y = 1$$
$$z = 0{,}5$$

$V = 4x \cdot 2{,}5y \cdot 3z$ .
Числовые множители: $4 \cdot 2{,}5 \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30$ . Буквенные: $$xyz$$ . Значит, $$V = 30xyz$$ (см³).
При $$x = 2$$ , $$y = 1$$ , $$z = 0{,}5$$ произведение $xyz = 2 \cdot 1 \cdot 0{,}5 = 1$ , поэтому $V = 30 \cdot 1 = 30$ (см³).

Проверка по исходным размерам: длина $4 \cdot 2 = 8$ см, ширина $2{,}5 \cdot 1 = 2{,}5$ см, высота $3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5$ см, объём $8 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}5 = 30$ см³. Верно.

Ответ

\(V = 30xyz\)

см³; 30 см³

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите несколько одинаковых коробок, например по $$n$$ карандашей в каждой. Две стопки по 3 коробки — это $2 \cdot 3 \cdot n$ карандашей, а короче $$6n$$ : числа можно перемножить сразу, буква «ждёт» своего значения. Число 6 перед буквой и есть коэффициент. Потом добавьте знаки: попросите упростить $-2x \cdot 3y$ и $-2x \cdot (-3y)$ и объяснить, почему знаки ответов разные.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какой коэффициент у выражения $$ab$$ ? А у $$-ab$$ ? 2) Сколько коэффициентов в выражении $5 \cdot x \cdot (-2) \cdot y$ после упрощения и чему он равен? 3) Как, не вычисляя, узнать знак коэффициента выражения $-a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot (-d)$ ?

На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются в знаке. Пусть ребёнок вслух считает отрицательные множители, включая минусы перед буквами. Полезная привычка — проверять упрощение подстановкой: взять $$a = 1$$ , $$b = 2$$ и сравнить значения исходного и упрощённого выражения.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 38	5.33, 5.34, 5.35, 5.36, 5.37, 5.38, 5.39, 5.40, 5.41, 5.42, 5.43, 5.44, 5.45, 5.46, 5.47, 5.48, 5.49, 5.50, 5.51, 5.52, 5.53, 5.54, 5.55, 5.56