Перед скобками стоит знак «минус». Что происходит со знаками слагаемых в скобках, когда скобки раскрывают?

Меняется знак каждого слагаемого

Меняется знак только первого слагаемого

Меняется знак только последнего слагаемого

Раскрытие скобок — 6 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Раскрыть скобки — значит записать выражение без скобок в виде алгебраической суммы. Если перед скобками стоит «плюс», скобки опускают и знаки слагаемых сохраняют. Если перед скобками стоит «минус», скобки опускают, а знак каждого слагаемого в скобках меняют на противоположный.

a + (b - c) = a + b - c, \qquad a - (b - c) = a - b + c

Подробное объяснение

Пример из магазина

В кошельке 500 р. Вы покупаете тетрадь за 120 р. и ручку за 30 р. Потраченная сумма — $$(120 + 30)$$ , и в кошельке остаётся $$500 - (120 + 30)$$ . Но можно считать и по одной покупке: сначала отдать 120 р., потом 30 р. — $$500 - 120 - 30$$ . Результат один: 350 р. Значит, $$500 - (120 + 30) = 500 - 120 - 30$$ .

Теперь пусть на тетрадь была скидка 20 р., и вы заплатили $$(120 - 20)$$ . Остаток $$500 - (120 - 20)$$ . Если считать по шагам, то сначала «отдали» 120 р., а потом скидку 20 р. «вернули»: $$500 - 120 + 20 = 400$$ . Минус перед скобками превратил минус внутри скобок в плюс. Это и есть раскрытие скобок.

Алгебраическая сумма

Вы уже знаете, что разность можно заменить суммой: $$m - n = m + (-n)$$ . Поэтому любое выражение из сложений и вычитаний — это алгебраическая сумма, и у каждого слагаемого есть свой знак. В выражении $4 - n + 2 \cdot m - 7$ слагаемые такие: $$4$$ , $$-n$$ , $2 \cdot m$ , $$-7$$ . Слагаемое без знака впереди считается положительным: у него знак «плюс».

Перед скобками «плюс»

Если перед скобками стоит знак «плюс», скобки и этот плюс можно опустить, а знаки слагаемых в скобках сохранить:

a + (-b + c) = a - b + c, \qquad a + (b + c) = a + b + c.

Если скобки стоят в самом начале выражения, перед ними тоже подразумевается «плюс»: $$(x - 3) + 5 = x - 3 + 5$$ .

Перед скобками «минус»

Сначала разберёмся с числом, противоположным сумме. Найдём $$-(-6 + 2)$$ . Можно сложить: $$-6 + 2 = -4$$ , а противоположное число — 4. А можно сразу поменять знаки слагаемых: $$6 + (-2) = 4$$ . Ответ тот же. Правило: чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знак каждого слагаемого:

\[-(a + b) = -a - b.\]

Отсюда правило для минуса перед скобками: скобки и минус перед ними опускают, а знак каждого слагаемого в скобках меняют на противоположный:

\[a - (b - c + d) = a - b + c - d.\]

Почему так: $a - (b - c + d) = a + \bigl(-(b - c + d)\bigr)$ , а противоположная сумма — это сумма противоположных слагаемых.

Зачем это нужно

После раскрытия скобок слагаемые можно переставлять и группировать (переставляем каждое вместе с его знаком). Поэтому скобки часто мешают увидеть удобный счёт, а без них он сразу заметен: $$9{,}37 - (9{,}37 - 2{,}5) = 9{,}37 - 9{,}37 + 2{,}5 = 2{,}5$$ . С длинной суммой удобно так: отдельно сложить все положительные числа, отдельно все отрицательные, потом сложить результаты. Смешанное число со знаком «минус» можно записать как сумму целой и дробной частей: $-3\dfrac{1}{4} = -\left(3 + \dfrac{1}{4}\right) = -3 - \dfrac{1}{4}$ , а потом отдельно сложить целые части и отдельно дробные.

Как решать задачи

Найдите все скобки и посмотрите, какой знак стоит перед каждыми. Скобки в начале выражения — со знаком «плюс».
Если перед скобками «плюс» — уберите скобки, знаки внутри не трогайте.
Если перед скобками «минус» — уберите скобки и этот минус, а знак каждого слагаемого внутри поменяйте. Первое слагаемое без знака — это «плюс», он становится «минусом».
Проверьте, что слагаемых столько же, сколько было в скобках, и у каждого стоит знак.
Найдите противоположные числа и удобные группы, переставьте слагаемые вместе с их знаками и досчитайте.

Разобранные примеры

База

Скобки после знака «плюс»

Условие

Раскройте скобки и вычислите $$-36{,}4 + (12{,}5 + 36{,}4)$$ .

Решение

Перед скобками знак «плюс», знаки слагаемых сохраняем:

\[-36{,}4 + (12{,}5 + 36{,}4) = -36{,}4 + 12{,}5 + 36{,}4.\]

Числа $$-36{,}4$$ и $$36{,}4$$ противоположные, их сумма равна нулю. Остаётся 12,5.

Ответ: 12,5

Средний

Выражение с буквами

Условие

Раскройте скобки и упростите $$-(p - 2{,}5) + (q - r) - (-s + 4)$$ .

Решение

Перед первыми скобками «минус»: $$-(p - 2{,}5) = -p + 2{,}5$$ .
Перед вторыми «плюс»: $$+(q - r) = q - r$$ .
Перед третьими «минус»: $$-(-s + 4) = s - 4$$ .
Записываем всё вместе и складываем числа $$2{,}5 - 4 = -1{,}5$$ :

\[-p + 2{,}5 + q - r + s - 4 = -p + q - r + s - 1{,}5.\]

Ответ:

\(-p + q - r + s - 1{,}5\)

Сложный

Смешанные числа

Условие

Вычислите $\left(6\dfrac{5}{8} - 13\right) - \left(2\dfrac{5}{8} - 7\dfrac{1}{3}\right) - 1\dfrac{1}{3}$ .

Решение

Раскроем скобки. Первые стоят в начале — знаки сохраняем, перед вторыми «минус» — знаки меняем:

6\dfrac{5}{8} - 13 - 2\dfrac{5}{8} + 7\dfrac{1}{3} - 1\dfrac{1}{3}.

Сгруппируем числа с одинаковыми дробными частями: $6\dfrac{5}{8} - 2\dfrac{5}{8} = 4$ , $7\dfrac{1}{3} - 1\dfrac{1}{3} = 6$ .
$$4 + 6 - 13 = -3$$ .

Ответ:

\(-3\)

Типичные ошибки

Стирают скобки после «минуса», не меняя знаков

Почему неверно

$$7{,}2 - (3{,}2 + 1)$$ превращают в $$7{,}2 - 3{,}2 + 1 = 5$$ . Но вычитали всю сумму $$3{,}2 + 1 = 4{,}2$$ , то есть и единицу тоже. На самом деле $$7{,}2 - 4{,}2 = 3$$ .

Как правильно

После «минуса» меняйте знак каждого слагаемого: $$7{,}2 - (3{,}2 + 1) = 7{,}2 - 3{,}2 - 1 = 3$$ .

Меняют знак только у первого слагаемого

Почему неверно

$$-(x - 5 + y)$$ записывают как $$-x - 5 + y$$ : минус «достался» только иксу. Проверка числами при $$x = 1$$ , $$y = 2$$ : слева $$-(1 - 5 + 2) = 2$$ , справа $$-1 - 5 + 2 = -4$$ . Не совпадает.

Как правильно

Меняется знак у всех слагаемых в скобках: $$-(x - 5 + y) = -x + 5 - y$$ . При $$x = 1$$ , $$y = 2$$ получаем $$-1 + 5 - 2 = 2$$ — верно.

Меняют знаки, когда перед скобками «плюс»

Почему неверно

По привычке «скобки — значит что-то меняем» пишут $$9 + (-4 + 6) = 9 + 4 - 6 = 7$$ . Но в скобках сумма $$-4 + 6 = 2$$ , и $$9 + 2 = 11$$ .

Как правильно

Перед скобками «плюс» — знаки сохраняются: $$9 + (-4 + 6) = 9 - 4 + 6 = 11$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Раскройте скобки и вычислите $$-12{,}7 + (12{,}7 - 5{,}35)$$ .

Подсказка

Перед скобками стоит «плюс» — знаки слагаемых в скобках сохраняются.

Решение

Перед скобками знак «плюс», поэтому скобки просто опускаем, знаки слагаемых не меняем:

\[-12{,}7 + (12{,}7 - 5{,}35) = -12{,}7 + 12{,}7 - 5{,}35 = 0 - 5{,}35 = -5{,}35.\]

Числа $$-12{,}7$$ и $$12{,}7$$ противоположные, их сумма равна нулю.

Ответ

−5,35

База Задача 2

Раскройте скобки в выражении $$m - (n - p + 4)$$ .

Подсказка

Перед скобками «минус» — знак каждого слагаемого в скобках меняется на противоположный.

Решение

Перед скобками стоит знак «минус». Опускаем скобки и этот минус, а знак каждого слагаемого меняем: $$n$$ (записано без знака, то есть со знаком «плюс») становится $$-n$$ , $$-p$$ становится $$+p$$ , $$+4$$ становится $$-4$$ :

\[m - (n - p + 4) = m - n + p - 4.\]

Ответ

\(m - n + p - 4\)

Средний Задача 3

Раскройте скобки и вычислите $$(7{,}6 - 13) - (4{,}6 - 21) - 9$$ .

Подсказка

После раскрытия скобок сгруппируйте слагаемые с одинаковой дробной частью.

Решение

Первые скобки стоят в начале выражения, перед ними знак «плюс» подразумевается — знаки сохраняем. Перед вторыми скобками «минус» — знаки меняем:

\[(7{,}6 - 13) - (4{,}6 - 21) - 9 = 7{,}6 - 13 - 4{,}6 + 21 - 9.\]

Переставим слагаемые вместе с их знаками: $$(7{,}6 - 4{,}6) + 21 - 13 - 9 = 3 + 21 - 22 = 2$$ .

Ответ

2

Средний Задача 4

Раскройте скобки и упростите выражение $$-(x - y + 5) - (z - 8)$$ .

Подсказка

Обе пары скобок стоят после знака «минус». Числа после раскрытия скобок можно сложить.

Решение

Перед обеими скобками знак «минус», поэтому меняем знак каждого слагаемого в обеих скобках:

\[-(x - y + 5) - (z - 8) = -x + y - 5 - z + 8.\]

Буквы складывать не с чем, а числа сложим: $$-5 + 8 = 3$$ .

\[-x + y - 5 - z + 8 = -x + y - z + 3.\]

Ответ

\(-x + y - z + 3\)

Сложный Задача 5

Вычислите $-5\dfrac{2}{7} + \left(3\dfrac{3}{4} - 4\dfrac{5}{7}\right) - \left(2\dfrac{1}{4} - 9\right)$ .

Подсказка

Раскройте скобки и соберите вместе числа с седьмыми долями и числа с четвертями.

Решение

Раскроем скобки: перед первыми — «плюс», перед вторыми — «минус»:

-5\dfrac{2}{7} + 3\dfrac{3}{4} - 4\dfrac{5}{7} - 2\dfrac{1}{4} + 9.

Сгруппируем слагаемые с седьмыми долями и с четвертями:

\left(-5\dfrac{2}{7} - 4\dfrac{5}{7}\right) + \left(3\dfrac{3}{4} - 2\dfrac{1}{4}\right) + 9.

$-5\dfrac{2}{7} - 4\dfrac{5}{7} = -\left(5\dfrac{2}{7} + 4\dfrac{5}{7}\right) = -9\dfrac{7}{7} = -10$ .
$3\dfrac{3}{4} - 2\dfrac{1}{4} = 1\dfrac{2}{4} = 1\dfrac{1}{2}$ .
$-10 + 1\dfrac{1}{2} + 9 = -1 + 1\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ

\dfrac{1}{2}

Сложный Задача 6

Докажите, что значение выражения $$(a - b + 7) - (a - b - 3)$$ не зависит от значений $$a$$ и $$b$$ , и найдите это значение.

Подсказка

Раскройте скобки и найдите среди слагаемых противоположные.

Решение

Раскроем скобки. Перед первыми знаки сохраняем, перед вторыми стоит «минус» — меняем знак каждого слагаемого:

\[(a - b + 7) - (a - b - 3) = a - b + 7 - a + b + 3.\]

Переставим слагаемые: $$(a - a) + (-b + b) + 7 + 3$$ . Суммы противоположных чисел $$a + (-a)$$ и $$-b + b$$ равны нулю, остаётся $$7 + 3 = 10$$ .

При любых $$a$$ и $$b$$ выражение равно 10. Например, если $$a = 2$$ и $$b = 5$$ , то $$(2 - 5 + 7) - (2 - 5 - 3) = 4 - (-6) = 10$$ .

Ответ

Значение не зависит от

\(a\)

и

\(b\)

и равно 10

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите кошелёк или пачку купюр-закладок. «Было 500, купили на $$(120 + 30)$$ — сколько осталось?» Покажите, что можно отдавать по одной покупке: $$500 - 120 - 30$$ . Потом добавьте скидку: «заплатили $$(120 - 20)$$ ». Пусть ребёнок сам скажет, что скидку надо «вернуть», и запишет $$500 - 120 + 20$$ . Так и запоминается правило: минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно $$-(a - b)$$ ? 2) Почему $$10 - (4 + 3)$$ не равно $$10 - 4 + 3$$ ? 3) Меняются ли знаки в скобках, если перед ними стоит «плюс» или скобки стоят в начале выражения?

На что обратить внимание. Главная ошибка — смена знака только у первого слагаемого или забытая смена совсем. Попросите после раскрытия скобок пересчитать слагаемые и проговорить знак каждого. Хорошая самопроверка — подставить простые числа в выражение до и после раскрытия скобок: значения должны совпасть.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 37	5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18, 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23, 5.24, 5.25, 5.26, 5.27, 5.28, 5.29, 5.30, 5.31, 5.32