Можно ли упростить выражение 4x + 3, приведя подобные слагаемые?

Нет, эти слагаемые не подобны

Подобные слагаемые — 6 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью, например $$5a$$ и $$-2a$$ . Чтобы привести (сложить) подобные слагаемые, складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменений.

\[5a - 2a + 4a = (5 - 2 + 4)a = 7a\]

Подробное объяснение

Яблоки с яблоками

В корзине 3 яблока и 2 груши. Положили ещё 4 яблока и 1 грушу. Сколько всего фруктов каждого вида? Яблоки считаем с яблоками, груши — с грушами: 7 яблок и 3 груши. Сложить «7 яблок и 3 груши» в «10 яблогруш» нельзя.

С буквенными выражениями всё так же. В выражении $$3a + 2b + 4a + b$$ слагаемые с $$a$$ складываются между собой, слагаемые с $$b$$ — между собой: получается $$7a + 3b$$ . А вот $$7a$$ и $$3b$$ в одно слагаемое уже не соединить.

Какие слагаемые подобны

У слагаемого, записанного как произведение числа и букв, есть коэффициент — числовой множитель — и буквенная часть. У $$-4x$$ коэффициент $$-4$$ , буквенная часть $$x$$ . У $$x$$ коэффициент $$1$$ , у $$-x$$ — коэффициент $$-1$$ .

Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью. Подобны $$5a$$ , $$-2a$$ и $$a$$ . Подобны $$0{,}3xy$$ и $$7xy$$ . А вот $$2x$$ и $$2y$$ не подобны: коэффициенты одинаковы, но буквы разные. Не подобны и $$4x$$ и $$4$$ . Числа без букв подобны друг другу: $$4$$ и $$-1$$ тоже можно сложить.

Почему складывают коэффициенты

Приведение подобных слагаемых — это распределительное свойство умножения, прочитанное справа налево: $$ac + bc = (a + b)c$$ . Например,

\[7x - 2x + 4x = (7 - 2 + 4)x = 9x.\]

Общий множитель $$x$$ вынесли за скобки, в скобках остались коэффициенты. Поэтому правило звучит так: чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Коэффициенты берут вместе со знаками, которые стоят перед слагаемыми. В выражении $$6c - 9c$$ коэффициенты $$6$$ и $$-9$$ , их сумма $$-3$$ , значит, $$6c - 9c = -3c$$ . Если сумма коэффициентов равна нулю, слагаемые взаимно уничтожаются: $5a - 5a = 0 \cdot a = 0$ .

Выражение, где подобны не все слагаемые

Обычно в выражении есть несколько групп подобных слагаемых. Каждую группу приводят отдельно. Удобно выделить слагаемые одной группы одним цветом или одной чертой, другой — другим:

Шесть слагаемых выражения 5a + 3b − 2a + 4 − b + 1 раскрашены по группам, стрелки сводят каждую группу в одну рамку. Итог 3a + 2b + 5. — Слагаемые с одинаковой буквенной частью собирают в группы вместе со знаками и складывают коэффициенты; числа без букв — отдельная группа.

\[5a + 3b - 2a + 4 - b + 1 = (5 - 2)a + (3 - 1)b + (4 + 1) = 3a + 2b + 5.\]

Если в выражении есть скобки, их сначала раскрывают по правилам раскрытия скобок, а потом приводят подобные:

\[2(3y - 1) - (y + 4) = 6y - 2 - y - 4 = 5y - 6.\]

Зачем всё это? Упрощённое выражение короче, в нём меньше ошибок при подстановке чисел. А в следующей теме приведение подобных слагаемых понадобится при решении уравнений.

Как решать задачи

Если в выражении есть скобки, раскройте их. Следите за знаком перед скобкой.
Найдите группы подобных слагаемых — с одинаковой буквенной частью. Подчеркните каждую группу по-своему. Числа без букв — отдельная группа.
Для каждой группы выпишите коэффициенты вместе со знаками, стоящими перед слагаемыми. У $$x$$ коэффициент $$1$$ , у $$-x$$ — коэффициент $$-1$$ .
Сложите коэффициенты и допишите общую буквенную часть.
Запишите ответ: слагаемые, которым не нашлось пары, перепишите без изменений.
Если нужно найти значение выражения, подставляйте число в уже упрощённое выражение.

Разобранные примеры

База

Две группы подобных слагаемых

Условие

Приведите подобные слагаемые: $$5a - 8b + 3a + 6b - a$$ .

Решение

Подобные слагаемые: $$5a$$ , $$3a$$ и $$-a$$ ; $$-8b$$ и $$6b$$ . Складываем коэффициенты в каждой группе, у $$-a$$ коэффициент $$-1$$ :

\[5a + 3a - a - 8b + 6b = (5 + 3 - 1)a + (-8 + 6)b = 7a - 2b.\]

Ответ:

\(7a - 2b\)

Средний

Сначала скобки, потом подобные

Условие

Упростите выражение $$5(2x - 3) - 2(4x - 1)$$ .

Решение

Раскрываем скобки. Множитель $$-2$$ умножаем на каждое слагаемое второй скобки: $-2 \cdot 4x = -8x$ , $-2 \cdot (-1) = 2$ .

\[5(2x - 3) - 2(4x - 1) = 10x - 15 - 8x + 2.\]

Приводим подобные: $$10x - 8x = 2x$$ , $$-15 + 2 = -13$$ .

Ответ:

\(2x - 13\)

Сложный

Упростить, а потом считать

Условие

Найдите значение выражения $$-3(2y - 4) + 4(y + 0{,}5) - 6$$ при $$y = -1{,}5$$ .

Решение

Раскрываем скобки:

\[-3(2y - 4) + 4(y + 0{,}5) - 6 = -6y + 12 + 4y + 2 - 6.\]

Приводим подобные: $$-6y + 4y = -2y$$ , $$12 + 2 - 6 = 8$$ . Выражение равно $$-2y + 8$$ .
При $$y = -1{,}5$$ получаем $-2 \cdot (-1{,}5) + 8 = 3 + 8 = 11$ .

Проверка подстановкой в исходное выражение: $-3 \cdot (-3 - 4) + 4 \cdot (-1{,}5 + 0{,}5) - 6 = 21 - 4 - 6 = 11$ . Верно.

Ответ: 11

Типичные ошибки

Складывают неподобные слагаемые

Почему неверно

Ученик пишет $$3x + 2 = 5x$$ или $$2a + 3b = 5ab$$ . Но $$3x + 2$$ при $$x = 10$$ равно $$32$$ , а $$5x$$ равно $$50$$ . У слагаемых разная буквенная часть, сложить их в одно нельзя.

Как правильно

Складывайте только слагаемые с одинаковой буквенной частью. Выражения $$3x + 2$$ и $$2a + 3b$$ упростить нельзя — так и оставляйте.

Теряют знак перед слагаемым

Почему неверно

В выражении $$7x - 5 - 2x$$ ученик собирает «иксы» так: $$7x + 2x = 9x$$ , и получает $$9x - 5$$ . Но перед $$2x$$ стоит минус, коэффициент этого слагаемого $$-2$$ , а не $$2$$ .

Как правильно

Переставляйте слагаемые вместе со знаком, который стоит перед ними: $$7x - 2x - 5 = (7 - 2)x - 5 = 5x - 5$$ .

Не видят коэффициент 1 у одиночной буквы

Почему неверно

Ученик пишет $$6x - x = 6$$ или $$6x - x = 6x$$ : кажется, что у $$x$$ «нет числа», и его либо вычитают вместе с буквой, либо вовсе пропускают.

Как правильно

$x = 1 \cdot x$ , а $-x = -1 \cdot x$ . Поэтому $$6x - x = (6 - 1)x = 5x$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Приведите подобные слагаемые $$9y - 4y + 7y - y$$ .

Подсказка

У слагаемого $$-y$$ коэффициент равен $$-1$$ .

Решение

Все слагаемые подобны: у них одна и та же буквенная часть $$y$$ . Складываем коэффициенты $$9$$ , $$-4$$ , $$7$$ и $$-1$$ :

\[9y - 4y + 7y - y = (9 - 4 + 7 - 1)y = 11y.\]

Ответ

\(11y\)

База Задача 2

Приведите подобные слагаемые $$6m + 2n - 4m + 5n - 8$$ .

Подсказка

Подобны между собой слагаемые с $$m$$ и отдельно слагаемые с $$n$$ . Число $$-8$$ подобных себе не имеет.

Решение

Подобные слагаемые: $$6m$$ и $$-4m$$ ; $$2n$$ и $$5n$$ . Складываем коэффициенты в каждой группе:

\[6m - 4m + 2n + 5n - 8 = (6 - 4)m + (2 + 5)n - 8 = 2m + 7n - 8.\]

Ответ

\(2m + 7n - 8\)

Средний Задача 3

Упростите выражение $$3(2a - 5) - 4(a - 2)$$ .

Подсказка

Сначала раскройте скобки. Перед второй скобкой стоит множитель $$-4$$ — умножьте на него каждое слагаемое в скобках.

Решение

Раскрываем скобки: $$3(2a - 5) = 6a - 15$$ , $$-4(a - 2) = -4a + 8$$ .
Приводим подобные слагаемые:

\[6a - 15 - 4a + 8 = (6 - 4)a + (-15 + 8) = 2a - 7.\]

Ответ

\(2a - 7\)

Средний Задача 4

Приведите подобные слагаемые $\dfrac{2}{3}c - \dfrac{1}{4}c + 0{,}5c$ .

Подсказка

Запишите все коэффициенты обыкновенными дробями и приведите их к общему знаменателю 12.

Решение

Складываем коэффициенты, записав $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ :

\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} + \dfrac{6}{12} = \dfrac{11}{12}.

Значит, $\dfrac{2}{3}c - \dfrac{1}{4}c + 0{,}5c = \dfrac{11}{12}c$ .

Ответ

\dfrac{11}{12}c

Сложный Задача 5

Упростите выражение $$4(3x - 1) - 5(2x + 3) + 7$$ и найдите его значение при $$x = -2{,}5$$ .

Подсказка

Сначала упростите, потом подставляйте — в короткое выражение подставить число намного проще.

Решение

Раскрываем скобки:

\[4(3x - 1) - 5(2x + 3) + 7 = 12x - 4 - 10x - 15 + 7.\]

Приводим подобные: $$12x - 10x = 2x$$ , $$-4 - 15 + 7 = -12$$ . Получаем $$2x - 12$$ .
При $$x = -2{,}5$$ получаем $2 \cdot (-2{,}5) - 12 = -5 - 12 = -17$ .

Проверка подстановкой в исходное выражение: $4 \cdot (-7{,}5 - 1) - 5 \cdot (-5 + 3) + 7 = -34 + 10 + 7 = -17$ . Верно.

Ответ

\(2x - 12\)

;

\(-17\)

Сложный Задача 6

У Маши $$a$$ наклеек, у Пети на 7 наклеек больше, чем у Маши, а у Коли в 3 раза больше, чем у Маши. Составьте выражение для числа наклеек у всех троих, упростите его и найдите значение при $$a = 12$$ .

Подсказка

Запишите число наклеек каждого через $$a$$ , сложите и приведите подобные слагаемые.

Решение

Дано

у Маши $$a$$ наклеек
у Пети на 7 больше
у Коли в 3 раза больше
чем у Маши

Найти

число наклеек у всех троих

У Пети $$a + 7$$ наклеек, у Коли $$3a$$ наклеек.
Всего: $$a + (a + 7) + 3a = a + a + 3a + 7 = (1 + 1 + 3)a + 7 = 5a + 7$$ .
При $$a = 12$$ получаем $5 \cdot 12 + 7 = 67$ (наклеек).

Проверка: у Маши 12, у Пети 19, у Коли 36 наклеек, $$12 + 19 + 36 = 67$$ . Верно.

Ответ

\(5a + 7\)

; 67 наклеек

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите горсть разных предметов: карандаши, ластики, монеты. Выложите их кучками и запишите «выражение»: 3к + 2л + 4к + л. Пусть ребёнок разложит предметы по видам и запишет итог: 7к + 3л. Теперь замените картинки буквами $$a$$ и $$b$$ — это и есть приведение подобных слагаемых. Важно проговорить: карандаши с ластиками не складывают.

Вопросы для проверки понимания: 1) Подобны ли слагаемые $$5x$$ и $$5y$$ ? А $$5x$$ и $$-x$$ ? 2) Чему равно $$9a - a$$ ? 3) Как упростить $$3(x + 2) - x$$ ?

На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются в знаках: слагаемое переносят без минуса, который стоит перед ним. Попросите ребёнка подчёркивать каждую группу подобных слагаемых вместе со знаком. И ещё одна частая ловушка — одиночная буква: у $$x$$ коэффициент $$1$$ , а не $$0$$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 39	5.57, 5.58, 5.59, 5.60, 5.61, 5.62, 5.63, 5.64, 5.65, 5.66, 5.67, 5.68, 5.69, 5.70, 5.71, 5.72, 5.73, 5.74, 5.75, 5.76, 5.77, 5.78, 5.79, 5.80, 5.81, 5.82, 5.83, 5.84, 5.85, 5.86, 5.87, 5.88, 5.89, 5.90, 5.91, 5.92, 5.93, 5.94