Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Доли и дроби. Дроби на координатной прямой

Коротко о главном

Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, складывают или вычитают только числители, а знаменатель оставляют тем же.

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

Подробное объяснение

Представьте шоколадку из 10 одинаковых долек. Вы съели 3 дольки, друг — 4. Сколько шоколадки съели вместе? Конечно, 7 долек из 10, то есть $\dfrac{7}{10}$ . Мы просто сосчитали дольки, а размер дольки не изменился — она так и осталась десятой частью.

Почему знаменатель не меняется

Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое, — то есть размер одной доли. Числитель показывает, сколько таких долей взяли. Когда мы складываем $\dfrac{3}{10}$ и $\dfrac{4}{10}$ , мы складываем 3 десятых и 4 десятых. Получается 7 десятых — считаем доли, как считаем яблоки:

\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3 + 4}{10} = \frac{7}{10}.

Полоска из 10 равных клеток. Три клетки закрашены синим (3/10), следующие четыре — оранжевым (4/10), вместе 7 клеток из 10, три клетки пустые. — Складываем число долей, 3 + 4 = 7, а размер доли — одна десятая — не меняется.

Если бы мы сложили и знаменатели, получилось бы $\dfrac{7}{20}$ — это меньше, чем половина шоколадки, хотя съели больше половины. Так проверяют, что знаменатели складывать нельзя.

Вычитание

Вычитание устроено так же. На тарелке лежало $\dfrac{7}{8}$ торта, взяли $\dfrac{3}{8}$ — осталось $\dfrac{7 - 3}{8} = \dfrac{4}{8}$ торта. Из числителя уменьшаемого вычитаем числитель вычитаемого, знаменатель оставляем.

Если числители равны, разность равна нулю: $\dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{9} = 0$ . А если сумма даёт одинаковые числитель и знаменатель, получилось целое: $\dfrac{4}{13} + \dfrac{9}{13} = \dfrac{13}{13} = 1$ .

Целое как дробь

В задачах часто нужно найти остаток от целого. Целое можно записать дробью с тем же знаменателем: $1 = \dfrac{16}{16} = \dfrac{20}{20}$ . Например, если прошли $\dfrac{3}{16}$ пути, то осталось $\dfrac{16}{16} - \dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}$ пути.

Уравнения и выражения

Для дробей действуют те же правила, что и для натуральных чисел. Неизвестное слагаемое находят вычитанием, неизвестное уменьшаемое — сложением, неизвестное вычитаемое — вычитанием разности из уменьшаемого. В выражениях сначала выполняют действия в скобках, потом слева направо.

Читают такие записи тоже как обычно: $\dfrac{5}{43} + \dfrac{14}{43}$ — «сумма пяти сорок третьих и четырнадцати сорок третьих».

Как решать задачи

Проверьте, что знаменатели одинаковые.
Сложите или вычтите числители, знаменатель перепишите без изменений.
Если в задаче есть «осталось» или «остальное», запишите целое как дробь с тем же знаменателем.
Если нужно найти количество (километры, страницы), разделите целое на знаменатель и умножьте на полученный числитель.
Проверьте ответ: часть не может быть больше целого, если речь идёт о частях одного предмета.

Иногда ответ можно записать проще, например $\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}$ . Как это делать, вы узнаете в теме о сокращении дробей; пока правильным будет и ответ $\dfrac{4}{20}$ .

Разобранные примеры

База

Сумма трёх дробей

Условие

Вычислите $\dfrac{4}{15} + \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15}$ .

Решение

Знаменатели одинаковые, поэтому выполняем действия над числителями слева направо:

\frac{4}{15} + \frac{7}{15} - \frac{2}{15} = \frac{4 + 7 - 2}{15} = \frac{9}{15}.

Ответ: 9/15

Средний

Уравнение с дробями

Условие

Решите уравнение $\dfrac{17}{23} - x = \dfrac{5}{23}$ .

Решение

$$x$$ — вычитаемое. Неизвестное вычитаемое равно уменьшаемому минус разность:

x = \frac{17}{23} - \frac{5}{23} = \frac{12}{23}.

Проверка: $\dfrac{17}{23} - \dfrac{12}{23} = \dfrac{5}{23}$ — верно.

Ответ: x = 12/23

Сложный

Сколько осталось проехать

Условие

Дорога до дачи 90 км. На электричке проехали $\dfrac{11}{15}$ пути, на автобусе — $\dfrac{3}{15}$ , остальное прошли пешком. Сколько километров прошли пешком?

Решение

На электричке и автобусе: $\dfrac{11}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{14}{15}$ пути.
Весь путь — $\dfrac{15}{15}$ . Пешком: $\dfrac{15}{15} - \dfrac{14}{15} = \dfrac{1}{15}$ пути.
$$90 : 15 = 6$$ км.

Ответ: 6 км

Типичные ошибки

Складывают и знаменатели

Почему неверно

Запись $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{14}$ означает, что доли вдруг стали вдвое меньше. Но мы просто добавили две седьмых к трём седьмым — размер доли не изменился. К тому же $\dfrac{5}{14}$ меньше, чем одно из слагаемых $\dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{14}$ , чего при сложении быть не может.

Как правильно

Меняется только числитель: $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}$ .

Путают, что вычитать в уравнении

Почему неверно

В уравнении $\dfrac{13}{17} - y = \dfrac{3}{17}$ пишут $y = \dfrac{13}{17} + \dfrac{3}{17}$ — по привычке «переносят» и складывают. Получается $\dfrac{16}{17}$ , и проверка не сходится: $\dfrac{13}{17} - \dfrac{16}{17}$ даже нельзя вычислить в натуральных числах.

Как правильно

Неизвестное вычитаемое равно уменьшаемому минус разность: $y = \dfrac{13}{17} - \dfrac{3}{17} = \dfrac{10}{17}$ . Всегда делайте проверку подстановкой.

Забывают записать целое дробью

Почему неверно

В задаче «прошли $\dfrac{3}{16}$ пути, сколько осталось» пишут $1 - \dfrac{3}{16} = \dfrac{-2}{16}$ или $\dfrac{1 - 3}{16}$ , вычитая числитель из единицы.

Как правильно

Сначала запишите единицу дробью с тем же знаменателем: $1 = \dfrac{16}{16}$ , затем $\dfrac{16}{16} - \dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Вычислите $\dfrac{5}{11} + \dfrac{4}{11}$ .

Подсказка

Знаменатели одинаковые — сложите только числители.

Решение

$\dfrac{5}{11} + \dfrac{4}{11} = \dfrac{5 + 4}{11} = \dfrac{9}{11}$ .

Ответ

9/11

База Задача 2

Вычислите $\dfrac{13}{15} - \dfrac{6}{15}$ .

Подсказка

Из числителя уменьшаемого вычтите числитель вычитаемого.

Решение

$\dfrac{13}{15} - \dfrac{6}{15} = \dfrac{13 - 6}{15} = \dfrac{7}{15}$ .

Ответ

7/15

Средний Задача 3

Пицца разрезана на 12 равных кусков. Папа съел $\dfrac{3}{12}$ пиццы, мама — $\dfrac{2}{12}$ , сын — $\dfrac{4}{12}$ . Какая часть пиццы осталась?

Подсказка

Вся пицца — это $\dfrac{12}{12}$ .

Решение

Съели $\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{9}{12}$ пиццы.

Осталось $\dfrac{12}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{12}$ пиццы, то есть 3 куска.

Ответ

3/12 пиццы (3 куска)

Средний Задача 4

Решите уравнение $x + \dfrac{8}{21} = \dfrac{19}{21}$ .

Подсказка

Неизвестное слагаемое равно сумме минус известное слагаемое.

Решение

$x = \dfrac{19}{21} - \dfrac{8}{21} = \dfrac{11}{21}$ .

Проверка: $\dfrac{11}{21} + \dfrac{8}{21} = \dfrac{19}{21}$ — верно.

Ответ

x = 11/21

Сложный Задача 5

Маршрут велопохода 60 км. В первый день прошли $\dfrac{7}{20}$ маршрута, во второй — $\dfrac{9}{20}$ . Сколько километров осталось проехать?

Подсказка

Сначала найдите, какая часть маршрута осталась, потом — сколько километров в одной двадцатой.

Решение

За два дня: $\dfrac{7}{20} + \dfrac{9}{20} = \dfrac{16}{20}$ маршрута.
Осталось $\dfrac{20}{20} - \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{20}$ маршрута.
$$60 : 20 = 3$$ км — одна двадцатая; $3 \cdot 4 = 12$ км.

Ответ

12 км

Сложный Задача 6

В классной библиотеке книги о животных составляют $\dfrac{9}{25}$ всех книг, а о космосе — $\dfrac{4}{25}$ . Книг о животных на 15 больше. Сколько всего книг в библиотеке?

Подсказка

Разности долей соответствует разность в 15 книг.

Решение

Разница в долях: $\dfrac{9}{25} - \dfrac{4}{25} = \dfrac{5}{25}$ — это 15 книг.
Одна двадцать пятая: $$15 : 5 = 3$$ книги.
Все книги — это $\dfrac{25}{25}$ , поэтому их $3 \cdot 25 = 75$ .

Ответ

75 книг

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите плитку шоколада или лист бумаги, разделённый на 8 равных частей. Отложите 3 части, потом ещё 2 и спросите: сколько восьмых теперь? Ребёнок сам увидит, что считаются части, а их размер (восьмая) остаётся прежним. Затем спросите, почему нельзя получить «пять шестнадцатых», — шестнадцатые вдвое меньше восьмых.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно $\dfrac{3}{11} + \dfrac{8}{11}$ и почему? 2) Какую часть пути осталось пройти, если прошли $\dfrac{5}{12}$ ? 3) Как найти $$x$$ в уравнении $x - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9}$ ?

На что обратить внимание. Главная ошибка — складывать знаменатели; попросите ребёнка оценить ответ на глаз (больше или меньше половины). В задачах на остаток следите, чтобы единица записывалась дробью с нужным знаменателем, а в уравнениях — чтобы была проверка подстановкой.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 29	5.163, 5.164, 5.165, 5.166, 5.167, 5.168, 5.169, 5.170, 5.171, 5.172, 5.173, 5.174, 5.175, 5.176, 5.177, 5.178, 5.179, 5.180, 5.181, 5.182, 5.183, 5.184, 5.185, 5.186, 5.187, 5.188, 5.189, 5.190, 5.191, 5.192, 5.193, 5.194, 5.195, 5.196, 5.197, 5.198, 5.199, 5.200, 5.201, 5.202, 5.203, 5.204, 5.205, 5.206, 5.207, 5.208, 5.209