Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Смешанное число — это запись суммы натурального числа и правильной дроби без знака «плюс»: \(2 + \dfrac{3}{4} = 2\dfrac{3}{4}\). Неправильную дробь можно превратить в смешанное число делением с остатком и обратно.
Подробное объяснение
Трое ребят делят 7 пицц поровну. Можно разрезать каждую пиццу на 3 куска — тогда каждому достанется 7 кусков, то есть \(\dfrac{7}{3}\) пиццы. А можно сначала раздать по 2 целых пиццы, а последнюю разрезать на троих. Тогда у каждого 2 пиццы и ещё треть: \(2 + \dfrac{1}{3}\). Досталось одно и то же, значит, \(\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}\).
Что такое смешанное число
Сумму натурального числа и правильной дроби договорились писать короче, без знака «плюс»: \(2 + \dfrac{1}{3} = 2\dfrac{1}{3}\). Такая запись называется смешанным числом (или смешанной дробью).
- Натуральное число 2 — целая часть.
- Правильная дробь \(\dfrac{1}{3}\) — дробная часть.
Читают так: «две целых одна третья» или «два и одна третья».
Дробная часть всегда правильная — меньше единицы. Если бы она была больше или равна 1, из неё можно было бы «достать» ещё целую единицу.
Как выделить целую часть из неправильной дроби
Числитель неправильной дроби больше знаменателя (или равен ему). Выясним, сколько в ней целых единиц. Для этого делим числитель на знаменатель с остатком.
Возьмём \(\dfrac{38}{5}\). Делим: \(38 = 5 \cdot 7 + 3\).
- Неполное частное 7 — целая часть.
- Остаток 3 — числитель дробной части.
- Знаменатель 5 не меняется.
Получаем \(\dfrac{38}{5} = 7\dfrac{3}{5}\). Это называют выделением целой части.
Если остаток равен нулю, дробь равна натуральному числу: \(\dfrac{35}{5} = 7\).
Как записать смешанное число неправильной дробью
Обратный путь. Пусть есть \(4\dfrac{2}{9}\). Каждая целая единица — это \(\dfrac{9}{9}\), поэтому в четырёх единицах \(4 \cdot 9 = 36\) девятых. Прибавим ещё 2 девятых: \(36 + 2 = 38\).
Так же любое натуральное число можно записать дробью с нужным знаменателем: \(5 = \dfrac{5 \cdot 6}{6} = \dfrac{30}{6}\).
Как решать задачи
- Нужно смешанное число из неправильной дроби — разделите числитель на знаменатель с остатком.
- Неполное частное запишите целой частью, остаток — числителем, знаменатель оставьте прежним.
- Нужна неправильная дробь из смешанного числа — умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель; знаменатель не меняйте.
- Проверьте: дробная часть смешанного числа должна быть правильной, остаток меньше знаменателя.
- В задачах «сколько кусков по \(\dfrac{1}{b}\)» переведите число в дробь со знаменателем \(b\) — ответом будет её числитель.
Разобранные примеры
Выделяем целую часть
Представьте \(\dfrac{29}{4}\) в виде смешанного числа.
Делим 29 на 4 с остатком: \(4 \cdot 7 = 28\), остаток \(29 - 28 = 1\). Целая часть 7, дробная часть \(\dfrac{1}{4}\).
\(\dfrac{29}{4} = 7\dfrac{1}{4}\).
Смешанное число — в дробь
Запишите \(12\dfrac{5}{8}\) неправильной дробью.
В 12 целых единицах \(8 \cdot 12 = 96\) восьмых. Прибавим 5 восьмых: \(96 + 5 = 101\).
\(12\dfrac{5}{8} = \dfrac{101}{8}\).
Проверка: \(101 : 8 = 12\) (ост. \(5\)).
Сколько стаканов
В кувшине \(3\dfrac{1}{4}\) л сока. Сколько стаканов по \(\dfrac{1}{4}\) л можно из него налить?
- сока \(3\dfrac{1}{4}\) л
- стакан \(\dfrac{1}{4}\) л
- число стаканов
Переведём в четверти литра: \(3\dfrac{1}{4} = \dfrac{4 \cdot 3 + 1}{4} = \dfrac{13}{4}\) л. Это 13 четвертей, в каждый стакан уходит одна четверть — стаканов 13.
Типичные ошибки
Пишут \(\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{3}\) — берут неполное частное знаменателем. Но доли остались пятыми: от 17 пятых отняли 15 пятых (три единицы), осталось 2 пятых.
Знаменатель не меняется: \(\dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}\).
Пишут \(2\dfrac{3}{5} = \dfrac{2 + 3}{5} = \dfrac{5}{5}\). Но \(\dfrac{5}{5} = 1\), а число \(2\dfrac{3}{5}\) больше двух. Каждая целая единица — это 5 пятых, а не одна.
\(2\dfrac{3}{5} = \dfrac{5 \cdot 2 + 3}{5} = \dfrac{13}{5}\).
Запись \(3\dfrac{7}{4}\) не считается ответом: в \(\dfrac{7}{4}\) спрятана ещё целая единица.
\(\dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4}\), поэтому \(3\dfrac{7}{4} = 4\dfrac{3}{4}\). Дробная часть смешанного числа всегда меньше 1.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая запись — смешанное число?
Показать ответ
Ответ: Б) $5\dfrac{2}{9}$
Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби, как \(5\dfrac{2}{9}\).
-
Какова целая часть числа \(\dfrac{47}{6}\)?
Показать ответ
Ответ: 7
\(47 : 6 = 7\) (ост. \(5\)), поэтому \(\dfrac{47}{6} = 7\dfrac{5}{6}\), целая часть 7.
-
Какой неправильной дроби равно \(4\dfrac{3}{5}\)?
Показать ответ
Ответ: В) $\dfrac{23}{5}$
\(5 \cdot 4 + 3 = 23\), знаменатель остаётся 5.
-
Какие равенства верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) $\dfrac{17}{3} = 5\dfrac{2}{3}$; В) $6 = \dfrac{42}{7}$; Г) $\dfrac{30}{8} = 3\dfrac{6}{8}$
\(2\dfrac{1}{9} = \dfrac{9 \cdot 2 + 1}{9} = \dfrac{19}{9}\), а не \(\dfrac{21}{9}\); остальные равенства верны.
-
Сколько третей в числе \(5\dfrac{1}{3}\)?
Показать ответ
Ответ: 16
\(5\dfrac{1}{3} = \dfrac{3 \cdot 5 + 1}{3} = \dfrac{16}{3}\) — это 16 третей.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Представьте неправильную дробь \(\dfrac{23}{5}\) в виде смешанного числа.
Подсказка
Разделите 23 на 5 с остатком.
Решение
\(23 : 5 = 4\) (ост. \(3\)), так как \(5 \cdot 4 = 20\). Целая часть 4, числитель дробной части 3, знаменатель 5 остаётся. \(\dfrac{23}{5} = 4\dfrac{3}{5}\).
Ответ
Представьте смешанное число \(3\dfrac{2}{7}\) в виде неправильной дроби.
Подсказка
Умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель.
Решение
\(3\dfrac{2}{7} = \dfrac{7 \cdot 3 + 2}{7} = \dfrac{23}{7}\).
Ответ
Три друга поровну разделили 11 яблок. Сколько яблок досталось каждому? Ответ запишите смешанным числом.
Решение
- 11 яблок
- 3 друга
- долю каждого
Каждому \(11 : 3 = \dfrac{11}{3}\) яблока. \(11 = 3 \cdot 3 + 2\), поэтому \(\dfrac{11}{3} = 3\dfrac{2}{3}\): по 3 целых яблока и ещё по две трети яблока.
Ответ
Сколько четвертей часа в \(2\dfrac{3}{4}\) ч? Сколько это минут?
Подсказка
Переведите смешанное число в неправильную дробь со знаменателем 4.
Решение
\(2\dfrac{3}{4} = \dfrac{4 \cdot 2 + 3}{4} = \dfrac{11}{4}\) — это 11 четвертей часа.
Четверть часа — 15 мин, поэтому \(11 \cdot 15 = 165\) мин.
Ответ
Каким наименьшим натуральным числом можно заменить \(a\), чтобы дробь \(\dfrac{a}{6}\) была больше 4, но её целая часть оставалась равной 4? А наибольшим?
Подсказка
Целая часть равна 4, если \(a = 6 \cdot 4 + r\), где остаток \(r\) от 0 до 5.
Решение
Целая часть \(\dfrac{a}{6}\) равна 4, когда \(a = 24 + r\) и \(0 \le r \le 5\). Дробь должна быть больше 4, значит, \(r \ne 0\).
Наименьшее \(a = 25\): \(\dfrac{25}{6} = 4\dfrac{1}{6}\). Наибольшее \(a = 29\): \(\dfrac{29}{6} = 4\dfrac{5}{6}\). При \(a = 30\) дробь равна 5.
Ответ
Ленту длиной \(6\dfrac{2}{5}\) м разрезали на куски по \(\dfrac{1}{5}\) м. Сколько получилось кусков?
Подсказка
Сколько пятых долей метра в \(6\dfrac{2}{5}\) м?
Решение
- длина \(6\dfrac{2}{5}\) м
- кусок \(\dfrac{1}{5}\) м
- число кусков
\(6\dfrac{2}{5} = \dfrac{5 \cdot 6 + 2}{5} = \dfrac{32}{5}\) м — это 32 пятых метра. Каждый кусок — одна пятая, кусков 32.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите 7 печенья и попросите разделить поровну на двоих. Ребёнок раздаст по 3 целых, а последнее разломит пополам — каждому \(3\dfrac{1}{2}\). Затем разломите все 7 печенья пополам: получится 14 половинок, каждому по 7 половинок, то есть \(\dfrac{7}{2}\). Одно и то же количество: \(\dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2}\).
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему дробная часть смешанного числа должна быть меньше 1? 2) Как из \(\dfrac{25}{7}\) получить смешанное число? 3) Сколько шестых в числе \(2\dfrac{1}{6}\)?
На что обратить внимание. Главное — связь с делением с остатком: неполное частное становится целой частью, остаток — числителем. Следите, чтобы ребёнок не менял знаменатель и при обратном переводе умножал целую часть на знаменатель, а не просто складывал числа.