Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Дробь правильная, если её числитель меньше знаменателя, и неправильная, если числитель больше знаменателя или равен ему. Правильная дробь всегда меньше 1, неправильная — больше 1 или равна 1.
Подробное объяснение
Представьте пиццу, разрезанную на 8 равных кусков. Если взять 3 куска, у вас \(\dfrac{3}{8}\) пиццы — меньше целой. Если взять все 8 кусков, у вас \(\dfrac{8}{8}\) — ровно одна пицца. А если на столе две такие пиццы и вы взяли 11 кусков, это \(\dfrac{11}{8}\) пиццы — больше целой.
Во всех трёх случаях знаменатель один и тот же — 8: он показывает, на сколько частей разрезана одна пицца. А числитель показывает, сколько кусков взяли. Кусков может оказаться меньше, чем в одной пицце, ровно столько же или больше.
Правило
- Правильная дробь — числитель меньше знаменателя: \(\dfrac{3}{8}\), \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{99}{100}\).
- Неправильная дробь — числитель больше знаменателя или равен ему: \(\dfrac{8}{8}\), \(\dfrac{11}{8}\), \(\dfrac{5}{1}\).
Слово «неправильная» не означает, что дробь записана с ошибкой. Это просто название: такая дробь содержит не меньше одной целой.
Сравнение с единицей
Единицу можно записать дробью с любым знаменателем: \(1 = \dfrac{8}{8} = \dfrac{5}{5} = \dfrac{100}{100}\). Поэтому сравнить дробь с единицей — значит сравнить её числитель со знаменателем:
- числитель меньше знаменателя — дробь меньше 1;
- числитель равен знаменателю — дробь равна 1;
- числитель больше знаменателя — дробь больше 1.
Отсюда главный вывод: правильная дробь меньше 1, неправильная больше или равна 1. И любая правильная дробь меньше любой неправильной: первая меньше единицы, вторая — не меньше.
На координатной прямой
Правильные дроби лежат между нулём и единицей. Неправильные — в точке 1 или правее. Например, если единичный отрезок разделить на 4 части, то \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{2}{4}\), \(\dfrac{3}{4}\) окажутся левее единицы, \(\dfrac{4}{4}\) — ровно в ней, а \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{9}{4}\) — правее.
Сколько бывает правильных дробей
Правильных дробей с данным знаменателем немного: при знаменателе 5 числитель может быть 1, 2, 3 или 4, то есть их четыре. В общем случае правильных дробей со знаменателем \(n\) ровно \(n - 1\). А неправильных дробей с тем же знаменателем бесконечно много: \(\dfrac{5}{5}\), \(\dfrac{6}{5}\), \(\dfrac{7}{5}\), …
Дробь от числа — больше или меньше самого числа
Это правило помогает проверять ответы в задачах. Найти \(\dfrac{2}{3}\) от 30 — значит взять меньше 30 (получится 20). Найти \(\dfrac{4}{3}\) от 30 — значит взять больше 30 (получится 40). Если в задаче «сделали \(\dfrac{6}{5}\) плана», план перевыполнен; если «\(\dfrac{4}{5}\) плана» — не выполнен.
Как решать задачи
- Найдите числитель и знаменатель дроби.
- Сравните их: меньше — дробь правильная, больше или равно — неправильная.
- Если нужно сравнить дробь с единицей, используйте тот же ответ: правильная меньше 1, неправильная — не меньше 1.
- Если в дроби стоит буква, запишите условие неравенством (числитель меньше знаменателя или не меньше) и переберите подходящие натуральные числа.
- В задачах про «дробь от числа» проверьте ответ: при правильной дроби он меньше исходного числа, при неправильной — больше или равен.
Разобранные примеры
Правильная или неправильная
Разделите дроби на правильные и неправильные: \(\dfrac{2}{9}\), \(\dfrac{9}{2}\), \(\dfrac{15}{15}\), \(\dfrac{14}{15}\), \(\dfrac{16}{15}\).
Сравниваем числитель со знаменателем. \(2 < 9\) и \(14 < 15\) — эти дроби правильные. \(9 > 2\), \(15 = 15\), \(16 > 15\) — эти дроби неправильные.
Какие значения может принимать буква
При каких натуральных \(b\) дробь \(\dfrac{6}{b}\) правильная, а при каких — неправильная?
Дробь правильная, если числитель меньше знаменателя: \(6 < b\), то есть \(b = 7, 8, 9, \ldots\) — подходит любое число больше 6.
Дробь неправильная, если \(6 \geqslant b\), то есть \(b = 1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Перевыполнили план
Бригада планировала за неделю уложить 60 м тротуарной плитки, а уложила \(\dfrac{7}{6}\) плана. Сколько метров плитки уложила бригада? Выполнила ли она план?
- план 60 м
- сделано \(\dfrac{7}{6}\) плана
- сколько уложено
-
\(\dfrac{1}{6}\) от 60 м: \(60 : 6 = 10\) (м).
-
\(\dfrac{7}{6}\) от 60 м: \(10 \cdot 7 = 70\) (м).
Дробь \(\dfrac{7}{6}\) неправильная, поэтому уложено больше плана — на 10 м. Ответ сходится с этой проверкой: \(70 > 60\).
Типичные ошибки
Правильной называют дробь, у которой числитель строго меньше знаменателя. У \(\dfrac{7}{7}\) числитель равен знаменателю — условие не выполнено.
Дроби вида \(\dfrac{n}{n}\) равны 1 и относятся к неправильным. Правило: «неправильная — числитель больше знаменателя или равен ему».
Название не означает ошибку. Дробь \(\dfrac{9}{4}\) — законная запись числа: девять четвертей, то есть больше двух целых.
Неправильную дробь можно оставлять в записи. Позже вы научитесь записывать её смешанным числом, но и в виде дроби она верна.
\(\dfrac{3}{100}\) — правильная дробь, она меньше 1, а \(\dfrac{5}{4}\) — неправильная, больше 1. Большой знаменатель означает мелкие доли, а не большую дробь.
Сравнивайте не знаменатели, а каждую дробь с единицей: любая правильная дробь меньше любой неправильной.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая из дробей правильная?
Показать ответ
Ответ: В) \(\dfrac{4}{9}\)
У \(\dfrac{4}{9}\) числитель меньше знаменателя, поэтому она правильная.
-
Какие дроби неправильные?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\dfrac{6}{6}\); В) \(\dfrac{11}{3}\)
Неправильная дробь — числитель больше знаменателя или равен ему: \(\dfrac{6}{6}\) и \(\dfrac{11}{3}\).
-
Какое утверждение верно?
Показать ответ
Ответ: Б) Неправильная дробь больше или равна 1
Дробь с равными числителем и знаменателем неправильная и равна 1, остальные неправильные дроби больше 1.
-
Сколько существует правильных дробей со знаменателем 6?
Показать ответ
Ответ: 5
Числитель может быть 1, 2, 3, 4 или 5 — пять дробей.
-
Где на координатной прямой лежит точка \(\dfrac{13}{12}\)?
Показать ответ
Ответ: В) Правее точки 1
Дробь \(\dfrac{13}{12}\) неправильная и не равна 1, значит, она больше 1 и лежит правее единицы.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Какие из дробей правильные, а какие неправильные? \(\dfrac{3}{8}\), \(\dfrac{8}{3}\), \(\dfrac{5}{5}\), \(\dfrac{1}{12}\), \(\dfrac{20}{19}\).
Подсказка
Сравните числитель со знаменателем.
Решение
Правильная дробь — числитель меньше знаменателя: \(\dfrac{3}{8}\) (\(3 < 8\)), \(\dfrac{1}{12}\) (\(1 < 12\)).
Неправильная — числитель больше знаменателя или равен ему: \(\dfrac{8}{3}\) (\(8 > 3\)), \(\dfrac{5}{5}\) (\(5 = 5\)), \(\dfrac{20}{19}\) (\(20 > 19\)).
Ответ
Сколько существует правильных дробей со знаменателем 10? Запишите их.
Подсказка
Числитель может быть любым натуральным числом, меньшим 10.
Решение
Числитель правильной дроби меньше знаменателя, значит, он может быть 1, 2, …, 9:
\(\dfrac{1}{10}\), \(\dfrac{2}{10}\), \(\dfrac{3}{10}\), \(\dfrac{4}{10}\), \(\dfrac{5}{10}\), \(\dfrac{6}{10}\), \(\dfrac{7}{10}\), \(\dfrac{8}{10}\), \(\dfrac{9}{10}\) — всего 9 дробей.
Ответ
При каких натуральных значениях \(x\) дробь \(\dfrac{x}{7}\) будет неправильной, но меньше 2?
Подсказка
Неправильная — значит не меньше 1; дробь, равная 2, со знаменателем 7 — это \(\dfrac{14}{7}\).
Решение
Неправильная дробь: \(x \geqslant 7\). Дробь меньше 2, то есть меньше \(\dfrac{14}{7}\), поэтому \(x < 14\).
Подходят \(x = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\) — семь значений.
Ответ
В бутылке 1 л сока. Маша разлила по стаканам \(\dfrac{5}{4}\) л сока из двух таких бутылок. Хватило бы ей одной бутылки? Сколько миллилитров сока она разлила?
Подсказка
\(\dfrac{1}{4}\) л — это \(1000 : 4\) мл.
Решение
Дробь \(\dfrac{5}{4}\) неправильная (\(5 > 4\)), значит, она больше 1: одной бутылки не хватило бы.
\(\dfrac{1}{4}\) л \(= 1000 : 4 = 250\) мл, \(\dfrac{5}{4}\) л \(= 250 \cdot 5 = 1250\) мл.
Ответ
Числитель и знаменатель дроби — натуральные числа, их сумма равна 11. Сколько среди таких дробей правильных и сколько неправильных?
Подсказка
Выпишите все пары: числитель от 1 до 10, знаменатель — дополнение до 11.
Решение
Все дроби: \(\dfrac{1}{10}\), \(\dfrac{2}{9}\), \(\dfrac{3}{8}\), \(\dfrac{4}{7}\), \(\dfrac{5}{6}\), \(\dfrac{6}{5}\), \(\dfrac{7}{4}\), \(\dfrac{8}{3}\), \(\dfrac{9}{2}\), \(\dfrac{10}{1}\) — всего 10.
Сумма 11 нечётная, поэтому числитель и знаменатель не могут быть равны. Правильных (числитель меньше) — первые пять, неправильных — последние пять.
Ответ
Велосипедист проехал 18 км. Это \(\dfrac{9}{7}\) пути, который он проехал вчера. Сколько километров он проехал вчера? Больше или меньше, чем сегодня?
Подсказка
Путь вчерашнего дня разделите на 7 частей: сегодня он проехал 9 таких частей.
Решение
- 18 км — это \(\dfrac{9}{7}\) вчерашнего пути
- вчерашний путь
-
Одна седьмая вчерашнего пути: \(18 : 9 = 2\) (км).
-
Весь вчерашний путь: \(2 \cdot 7 = 14\) (км).
Дробь \(\dfrac{9}{7}\) неправильная, поэтому сегодняшний путь больше вчерашнего: вчера он проехал меньше — 14 км.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите две одинаковые шоколадки по 6 долек. Спросите: «Сколько плитки — 4 дольки? А 6? А 8?» Пусть ребёнок запишет \(\dfrac{4}{6}\), \(\dfrac{6}{6}\), \(\dfrac{8}{6}\) и скажет, где меньше целой плитки, где ровно одна, где больше. Затем объясните: меньше целой — правильная дробь, одна целая или больше — неправильная. Вопросы для проверки понимания: 1) Может ли неправильная дробь быть меньше 1? 2) Сколько правильных дробей со знаменателем 4? 3) Какая дробь больше: \(\dfrac{99}{100}\) или \(\dfrac{3}{2}\) — и почему, не вычисляя? На что обратить внимание. Главная ловушка — дроби, равные единице: дети часто относят их к правильным. Второй момент — в задачах про «\(\dfrac{6}{5}\) плана» ребёнок должен сам заметить, что ответ больше плана; это хорошая самопроверка.