Сравнение десятичных дробей — 5 класс, математика: объяснение, примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Десятичная запись дробей

Коротко о главном

Нули в конце дробной части не меняют десятичную дробь: $$3{,}7 = 3{,}70 = 3{,}700$$ . Чтобы сравнить две десятичные дроби, уравнивают число знаков после запятой, отбрасывают запятую и сравнивают получившиеся натуральные числа.

4{,}5 = 4{,}50 \text{ и } 450 > 438, \text{ поэтому } 4{,}5 > 4{,}38

Подробное объяснение

В магазине на одном ценнике написано «89,9 руб.», на другом — «89,90 руб.». Это одна и та же цена: 89 рублей 90 копеек. А что дороже — 89,9 или 89,85? Многие по привычке скажут «89,85: там больше цифр». И ошибутся. Разберёмся, как сравнивать такие числа правильно.

Нули справа ничего не меняют

Отрезок длиной $$3{,}7$$ м — это 3 м и 7 дм. Его же можно записать как 3 м 70 см, то есть $$3{,}70$$ м, или как 3 м 700 мм, то есть $$3{,}700$$ м. Длина одна, записи разные: $$3{,}7 = 3{,}70 = 3{,}700$$ .

Правило: если к десятичной дроби приписать справа нули или отбросить нули в конце дробной части, получится равная ей дробь. Важно — именно в конце. В записи $$5{,}05$$ нуль стоит в разряде десятых, его убрать нельзя: $$5{,}5$$ — уже другое число.

Любое натуральное число тоже можно записать десятичной дробью: $$8 = 8{,}0 = 8{,}00$$ .

Сначала целые части

Если целые части разные, дальше смотреть не нужно: больше та дробь, у которой больше целая часть. $$12{,}1 > 9{,}999$$ , потому что $$12 > 9$$ . Сколько цифр стоит после запятой, неважно.

Потом дробные части

Если целые части равны, уравняем число знаков после запятой, дописав нули. Сравним $$8{,}734$$ и $$8{,}75$$ . Допишем нуль: $$8{,}75 = 8{,}750$$ . Теперь у обеих дробей по три знака, и их можно сравнить как натуральные числа: $$8734 < 8750$$ . Значит, $$8{,}734 < 8{,}75$$ .

То же можно делать поразрядно: десятые равны ( $$7$$ и $$7$$ ), в разряде сотых $$3 < 5$$ — значит, первая дробь меньше. Дальше цифры уже не важны.

Вернёмся к ценникам: $$89{,}9 = 89{,}90$$ и $$90 > 85$$ , поэтому $$89{,}9 > 89{,}85$$ .

Дроби на координатной прямой

Десятичные дроби отмечают на координатной прямой так же, как обыкновенные. Удобно взять единичный отрезок в 10 клеток: тогда одна клетка — это $$0{,}1$$ . Равные дроби, например $$2{,}8$$ и $$2{,}80$$ , изображаются одной точкой. Из двух дробей больше та, что лежит правее.

Координатная прямая от 2 до 3, разделённая на десятые. Отмечены точки A(2,3), B(2,35) между 2,3 и 2,4 и C(2,8), она же 2,80. Правее лежит большее число. — Из двух десятичных дробей больше та, что лежит на координатной прямой правее.

Как решать задачи

Сравните целые части. Если они разные — ответ готов.
Если целые равны, допишите нули справа, чтобы знаков после запятой стало поровну.
Отбросьте запятые и сравните натуральные числа (или сравнивайте цифры по разрядам слева направо до первого различия).
Если сравниваете величины, сначала выразите их в одинаковых единицах: $$0{,}712$$ кг и $$721{,}5$$ г — это $$712$$ г и $$721{,}5$$ г.
Чтобы найти число между двумя дробями, допишите к ним нули: между $$0{,}3 = 0{,}30$$ и $$0{,}4 = 0{,}40$$ лежат $$0{,}31$$ , $$0{,}32$$ и другие.

Разобранные примеры

База

Какая дробь больше

Условие

Сравните $$6{,}09$$ и $$6{,}1$$ .

Решение

Целые части равны. Допишем нуль ко второй дроби, $$6{,}1 = 6{,}10$$ . Сравниваем $$609$$ и $$610$$ , получаем $$609 < 610$$ .

Ответ: 6,09 < 6,1

Средний

Порядок возрастания

Условие

Запишите в порядке возрастания: $$2{,}5$$ ; $$2{,}05$$ ; $$2{,}55$$ ; $$2{,}505$$ .

Решение

Сделаем у всех по три знака после запятой: $$2{,}500$$ ; $$2{,}050$$ ; $$2{,}550$$ ; $$2{,}505$$ .

Сравниваем $$2500$$ , $$2050$$ , $$2550$$ , $$2505$$ , получаем $$2050 < 2500 < 2505 < 2550$$ .

Ответ: 2,05; 2,5; 2,505; 2,55

Сложный

Цифра вместо звёздочки

Условие

Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы было верно $$0{,}6* > 0{,}64$$ ?

Решение

Целые и десятые равны, сравнение решают сотые. Нужна цифра больше $$4$$ . Цифра $$4$$ не подходит: $$0{,}64 = 0{,}64$$ , а неравенство строгое.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9

Типичные ошибки

Считают, что дробь с большим числом цифр больше

Почему неверно

$$0{,}125$$ длиннее, чем $$0{,}3$$ , но меньше: $$0{,}3 = 0{,}300$$ , а $$300 > 125$$ . Длина записи после запятой ничего не говорит о величине числа — важны цифры в старших разрядах.

Как правильно

Уравняйте число знаков, дописав нули: $$0{,}300$$ и $$0{,}125$$ . Теперь сравнивайте как натуральные числа.

Отбрасывают нули не в конце

Почему неверно

В записи $$4{,}07$$ нуль стоит в разряде десятых. Если его убрать, получится $$4{,}7$$ — число на $$0{,}63$$ больше. Отбрасывать можно только нули, после которых в дробной части уже ничего нет.

Как правильно

$$4{,}0700 = 4{,}07$$ — убираем лишь два последних нуля.

Сравнивают величины в разных единицах

Почему неверно

$$2{,}5$$ м и $$240$$ см: кажется, что $$240$$ больше $$2{,}5$$ . Но метры и сантиметры — разные единицы, числа так сравнивать нельзя.

Как правильно

Переведите в одни единицы: $$2{,}5$$ м $$= 250$$ см, и $$250 > 240$$ . Значит, $$2{,}5$$ м больше.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сравните числа $$4{,}7$$ и $$4{,}69$$ .

Подсказка

Допишите к первой дроби нуль, чтобы знаков после запятой стало поровну.

Решение

Целые части равны. Уравняем число знаков: $$4{,}7 = 4{,}70$$ .

Сравниваем натуральные числа $$470$$ и $$469$$ , получаем $$470 > 469$$ , значит, $$4{,}7 > 4{,}69$$ .

Ответ

4,7 > 4,69

База Задача 2

Запишите дробь $$12{,}0500$$ с наименьшим числом знаков после запятой.

Подсказка

Отбрасывать можно только нули в самом конце дробной части.

Решение

Отбрасываем два нуля в конце, $$12{,}0500 = 12{,}05$$ . Нуль в разряде десятых оставляем — он стоит не в конце.

Ответ

12,05

Средний Задача 3

Запишите в порядке возрастания числа $$0{,}6$$ ; $$0{,}06$$ ; $$0{,}606$$ ; $$0{,}66$$ ; $$0{,}066$$ .

Подсказка

Сделайте у всех чисел по три знака после запятой.

Решение

Уравняем число знаков: $$0{,}600$$ ; $$0{,}060$$ ; $$0{,}606$$ ; $$0{,}660$$ ; $$0{,}066$$ .

Сравниваем натуральные числа $$600$$ , $$60$$ , $$606$$ , $$660$$ , $$66$$ , получаем $$60 < 66 < 600 < 606 < 660$$ .

$$0{,}06 < 0{,}066 < 0{,}6 < 0{,}606 < 0{,}66$$ .

Ответ

0,06; 0,066; 0,6; 0,606; 0,66

Средний Задача 4

На двух пакетах написано «1,25 кг» и «1250 г». В каком пакете больше крупы?

Подсказка

Выразите обе массы в граммах.

Решение

В $$1$$ кг $$1000$$ г, поэтому $$1{,}25$$ кг $$= 1250$$ г.

Массы равны, крупы в пакетах поровну.

Ответ

Поровну, 1,25 кг = 1250 г

Сложный Задача 5

Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы было верно $$3{,}*7 < 3{,}52$$ ? Сколько всего таких цифр?

Подсказка

Сравните двузначные «хвосты» после запятой — $$*7$$ и $$52$$ .

Решение

Целые части равны, значит, нужно, чтобы число $$*7$$ было меньше $$52$$ .

При цифре $$5$$ получается $$57 > 52$$ — не подходит. При цифре $$4$$ получается $$47 < 52$$ — подходит. Значит, подходят $$0, 1, 2, 3, 4$$ — всего $$5$$ цифр.

Ответ

0, 1, 2, 3, 4 — пять цифр

Сложный Задача 6

Найдите наименьшее число с тремя знаками после запятой, которое больше $$7{,}39$$ , и наибольшее с тремя знаками, которое меньше $$7{,}4$$ .

Подсказка

Запишите $$7{,}39$$ и $$7{,}4$$ с тремя знаками после запятой.

Решение

$$7{,}39 = 7{,}390$$ . Следующее число с тремя знаками — $$7{,}391$$ .

$$7{,}4 = 7{,}400$$ . Предыдущее число с тремя знаками — $$7{,}399$$ .

Ответ

7,391 и 7,399

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите два ценника или напишите цены: 49,9 руб. и 49,85 руб. Спросите, что дороже. Затем переведите в копейки: 49 руб. 90 коп. и 49 руб. 85 коп. — сразу видно, что первая цена больше. Покажите, что 49,9 и 49,90 — одна и та же сумма. Это и есть правило: допиши нули — и сравнивай.

Вопросы для проверки понимания: 1) Изменится ли число, если к 0,5 справа приписать два нуля? 2) Что больше — 0,7 или 0,69, и почему? 3) Можно ли отбросить нуль в числе 3,08?

На что обратить внимание. Главная ловушка — мысль «больше цифр — больше число», перенесённая с натуральных чисел. Если ребёнок путается, пусть всегда сначала дописывает нули, пока это не станет привычкой.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 42	6.31, 6.32, 6.33, 6.34, 6.35, 6.36, 6.37, 6.38, 6.39, 6.40, 6.41, 6.42, 6.43, 6.44, 6.45, 6.46, 6.47, 6.48, 6.49, 6.50, 6.51, 6.52, 6.53, 6.54, 6.55, 6.56, 6.57, 6.58, 6.59, 6.60, 6.61, 6.62, 6.63, 6.64, 6.65, 6.66, 6.67, 6.68, 6.69, 6.70, 6.71