Дроби с разными знаменателями — 5 класс, математика

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Приведение дробей к общему знаменателю

Коротко о главном

Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю, а потом сравнивают, складывают или вычитают так же, как дроби с одинаковыми знаменателями.

\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}

Подробное объяснение

Представьте: у вас половина одной шоколадки и треть другой, такой же. Сколько шоколадки всего? Сложить «1 + 1 = 2» и «2 + 3 = 5» и получить $\dfrac{2}{5}$ нельзя — это даже меньше половины, с которой мы начали. Беда в том, что половинки и трети — доли разного размера. Складывать можно только одинаковые доли, как складывают только одинаковые единицы: метры с метрами, рубли с рублями.

Выход — разрезать обе шоколадки на одинаковые мелкие кусочки. Если каждую разделить на 6 частей, половина — это 3 кусочка, а треть — 2 кусочка. Всего 5 кусочков из 6, то есть $\dfrac{5}{6}$ шоколадки.

Полоса, закрашенная наполовину, и такая же полоса, закрашенная на треть. Ниже полоса из шести равных частей, где закрашены три части и ещё две — всего пять шестых. — Половины и трети нельзя сложить напрямую, а шестые доли можно, поэтому 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

Именно это и делает приведение к общему знаменателю: подбирает такие доли, в которых можно выразить обе дроби. Общий знаменатель — число, которое делится на оба знаменателя. Удобнее всего брать наименьшее такое число — наименьшее общее кратное знаменателей (НОК). Тогда числа в вычислениях получаются меньше.

Сравнение

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель: семь восьмушек больше пяти восьмушек. Поэтому, чтобы сравнить $\dfrac{3}{4}$ и $\dfrac{5}{7}$ , приводим их к знаменателю 28: $\dfrac{21}{28}$ и $\dfrac{20}{28}$ . Так как $$21 > 20$$ , то $\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{7}$ .

Есть и частный случай, где общий знаменатель не нужен: если числители одинаковые, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. $\dfrac{2}{5} > \dfrac{2}{9}$ , потому что пятые доли крупнее девятых, а берём мы их поровну.

Сложение и вычитание

После приведения к общему знаменателю складываем (или вычитаем) числители, а знаменатель оставляем прежним. Результат по возможности сокращаем, а неправильную дробь обращаем в смешанное число.

Все знакомые свойства сложения и вычитания работают и для дробей. Слагаемые можно переставлять и группировать — например, сначала сложить дроби с одинаковыми знаменателями:

\dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{9} = \left(\dfrac{2}{9} + \dfrac{7}{9}\right) + \dfrac{1}{4} = 1\dfrac{1}{4}.

Как решать задачи

Посмотрите на знаменатели. Если один делится на другой, общим знаменателем будет больший из них.
Иначе найдите НОК знаменателей (для взаимно простых чисел, например 3 и 7, — просто их произведение).
Найдите дополнительный множитель для каждой дроби: общий знаменатель разделите на её знаменатель.
Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Сравните числители, или сложите, или вычтите их; знаменатель не меняйте.
Сократите результат и выделите целую часть, если дробь неправильная.

Разобранные примеры

База

Какая дробь больше

Условие

Сравните дроби $\dfrac{5}{6}$ и $\dfrac{7}{9}$ .

Решение

НОК(6, 9) = 18. Дополнительные множители — $$18 : 6 = 3$$ и $$18 : 9 = 2$$ .

$\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ , $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$ . Так как $$15 > 14$$ , то $\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}$ .

Ответ: 5/6 > 7/9

Средний

Сумма больше единицы

Условие

Вычислите $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$ .

Решение

НОК(4, 6) = 12. Дополнительные множители — 3 и 2.

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{19}{12} = 1\dfrac{7}{12}$ .

Ответ: 1 7/12

Сложный

Сколько пирога осталось

Условие

Оля съела $\dfrac{1}{4}$ пирога, а Петя — $\dfrac{1}{3}$ пирога. Какая часть пирога осталась и кто съел больше?

Решение

Весь пирог примем за 1. Общий знаменатель 4 и 3 — 12.

Съели вместе: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$ пирога.
Осталось: $1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$ пирога.
$\dfrac{4}{12} > \dfrac{3}{12}$ , значит, Петя съел больше — на $\dfrac{1}{12}$ пирога.

Ответ: Осталось 5/12 пирога; Петя съел больше

Типичные ошибки

Складывают числители с числителями и знаменатели со знаменателями

Почему неверно

По такому «правилу» $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ — две половинки дали половинку. Знаменатель показывает размер доли, а размер долей при сложении не меняется.

Как правильно

Сначала приводим к общему знаменателю, потом складываем только числители: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$ .

Меняют знаменатель, но забывают умножить числитель

Почему неверно

Запись $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{12}$ неверна: $\dfrac{2}{12}$ в четыре раза меньше, чем $\dfrac{2}{3}$ . По основному свойству дроби на дополнительный множитель умножают и знаменатель, и числитель.

Как правильно

$$12 : 3 = 4$$ , поэтому $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}$ .

Сравнивают дроби по знаменателям или по числителям «на глаз»

Почему неверно

У $\dfrac{3}{8}$ и числитель, и знаменатель больше, чем у $\dfrac{1}{3}$ , но это ещё ничего не говорит о величине: $\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}$ , а $\dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{24}$ — разница совсем небольшая, и угадать её трудно.

Как правильно

При разных числителях и знаменателях всегда приводите дроби к общему знаменателю. Сравнивать только знаменатели можно, лишь когда числители равны.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сравните дроби $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{5}{7}$ .

Подсказка

Общий знаменатель 3 и 7 — их произведение.

Решение

Общий знаменатель — 21. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{14}{21}$ , $\dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{21}$ . Так как $$14 < 15$$ , то $\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{7}$ .

Ответ

2/3 < 5/7

База Задача 2

Вычислите $\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{4}$ .

Подсказка

Наименьшее число, которое делится и на 10, и на 4, — 20.

Решение

$\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{11}{20}$ .

Ответ

11/20

Средний Задача 3

Вычислите $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}$ .

Подсказка

НОК(6, 8) = 24.

Решение

Дополнительные множители — $$24 : 6 = 4$$ и $$24 : 8 = 3$$ . $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

Ответ

11/24

Средний Задача 4

Найдите сумму $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{12}$ .

Подсказка

Все три знаменателя делят 12.

Решение

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$ .

Ответ

5/6

Сложный Задача 5

В первый день Лиза прочитала $\dfrac{2}{5}$ книги, во второй — $\dfrac{1}{3}$ книги. Какую часть книги ей осталось прочитать?

Подсказка

Всю книгу примите за 1.

Решение

За два дня: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ книги.
Осталось: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ книги.

Ответ

4/15 книги

Сложный Задача 6

Решите уравнение $x - \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4}$ .

Подсказка

Сначала вычислите правую часть, затем найдите неизвестное уменьшаемое.

Решение

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$ .
$$x$$ — неизвестное уменьшаемое, поэтому $x = \dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}$ .

Ответ

19/24

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две одинаковые полоски бумаги. Одну сложите пополам и закрасьте половину, другую сложите на три части и закрасьте треть. Спросите, сколько закрашено всего. Потом сложите обе полоски на 6 частей: половина превратится в 3 шестых, треть — в 2 шестых, вместе 5 шестых. Так ребёнок увидит, зачем нужен общий знаменатель.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему нельзя сложить $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{3}$ , просто сложив числители и знаменатели? 2) Как найти дополнительный множитель? 3) Какая дробь больше — $\dfrac{4}{7}$ или $\dfrac{4}{9}$ — и почему для этого не нужен общий знаменатель?

На что обратить внимание. Проверьте, что ребёнок умножает на дополнительный множитель и числитель, и знаменатель, а в конце сокращает ответ. Если общий знаменатель получается очень большим, стоит поискать НОК поменьше или сначала сократить дроби.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 36	5.393, 5.394, 5.395, 5.396, 5.397, 5.398, 5.399, 5.400, 5.401, 5.402, 5.403, 5.404, 5.405, 5.406, 5.407, 5.408, 5.409, 5.410, 5.411, 5.412, 5.413, 5.414, 5.415, 5.416, 5.417, 5.418, 5.419, 5.420, 5.421, 5.422, 5.423, 5.424, 5.425, 5.426, 5.427, 5.428, 5.429, 5.430, 5.431, 5.432, 5.433, 5.434, 5.435, 5.436, 5.437, 5.438, 5.439, 5.440, 5.441, 5.442, 5.443, 5.444, 5.445, 5.446, 5.447, 5.448, 5.449, 5.450, 5.451, 5.452, 5.453, 5.454, 5.455, 5.456, 5.457, 5.458