Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Масштаб — это отношение длины отрезка на карте (плане, чертеже) к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб 1 : 100 000 значит, что 1 см на карте соответствует 100 000 см, то есть 1 км, на местности.
Подробное объяснение
Зачем нужен масштаб
Весь город на лист бумаги не поместится, а план города — поместится. Для этого все расстояния уменьшают в одно и то же число раз. Тогда форма улиц сохраняется, а по карте можно узнать настоящие расстояния. Число, которое показывает, во сколько раз всё уменьшено, записывают в виде масштаба.
Масштабом карты называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Обе длины берут в одинаковых единицах, поэтому масштаб — просто число, без единиц. Обычно его записывают так, чтобы первый член отношения был равен 1: 1 : 10 000, 1 : 2 500 000.
Как читать масштаб
Масштаб 1 : 100 000 означает: 1 см на карте — это 100 000 см на местности. Чтобы понять, сколько это, переводим сантиметры:
- 100 см = 1 м, поэтому 100 000 см = 1000 м;
- 100 000 см = 1 км.
Удобное правило: в 1 км ровно 100 000 см. Значит, масштаб 1 : 100 000 — это «в 1 см 1 км», 1 : 500 000 — «в 1 см 5 км», 1 : 25 000 — «в 1 см 250 м».
Чем больше второе число масштаба, тем сильнее уменьшено изображение. На карте 1 : 10 000 000 помещается вся страна, на карте 1 : 10 000 — один район города.
Масштаб не только на картах
Масштаб есть у плана квартиры (1 : 100), у чертежа детали, у модели самолёта (1 : 72). А в биологии мелкие предметы изображают увеличенными: масштаб 10 : 1 значит, что рисунок насекомого в 10 раз больше самого насекомого. У такого масштаба первое число больше второго.
Три задачи на масштаб
Обозначим масштаб 1 : n. Тогда:
- Расстояние на местности = длина на карте · n. На карте 1 : 50 000 отрезок 4 см: \(4 \cdot 50\,000 = 200\,000\) см = 2 км.
- Длина на карте = расстояние на местности : n. Расстояние 30 км на карте 1 : 1 000 000: 30 км = 3 000 000 см, \(3\,000\,000 : 1\,000\,000 = 3\) см.
- Масштаб — отношение длины на карте к длине на местности в одинаковых единицах. Отрезок 5 см изображает 2 км = 200 000 см: \(5 : 200\,000 = 1 : 40\,000\).
Все три задачи можно решать и пропорцией: отношение длины на карте к длине на местности равно масштабу, \(x : 4 = 1 : 50\,000\). Неизвестный член находят по основному свойству пропорции.
Как решать задачи
- Выпишите, что дано: масштаб, длину на карте или расстояние на местности.
- Выразите длины в одинаковых единицах — удобнее всего в сантиметрах.
- Если нужно расстояние на местности — умножьте длину на карте на второе число масштаба.
- Если нужна длина на карте — разделите расстояние на местности на второе число масштаба.
- Если нужен масштаб — составьте отношение «карта : местность» и разделите оба члена на первый, чтобы получить 1 : n.
- Переведите ответ в удобные единицы: на местности — в метры или километры, на карте — в сантиметры.
- Проверьте прикидкой: на местности расстояние должно быть намного больше, чем на карте (если масштаб не увеличивающий).
Разобранные примеры
Расстояние по карте
На туристической карте масштаба 1 : 250 000 тропа от лагеря до водопада изображена отрезком длиной 3,2 см. Какова длина тропы?
- масштаб 1 : 250 000
- на карте 3,2 см
- длину тропы на местности
-
\(3{,}2 \cdot 250\,000 = 800\,000\) (см) — длина тропы.
-
\(800\,000\) см \(= 8000\) м \(= 8\) км.
Каков масштаб карты
Расстояние между двумя станциями 36 км. На карте оно изображено отрезком 9 см. Найдите масштаб карты.
- на местности 36 км
- на карте 9 см
- масштаб
-
\(36\) км \(= 3\,600\,000\) см — выразили обе длины в сантиметрах.
-
Масштаб: \(9 : 3\,600\,000\). Разделим оба члена на 9: \(1 : 400\,000\).
Проверка: в 1 см на такой карте 4 км, а 9 см — это \(9 \cdot 4 = 36\) км. Верно.
План комнаты
Комната имеет форму прямоугольника 4,5 м на 3,6 м. Её нарисовали на плане в масштабе 1 : 50. Найдите размеры комнаты на плане и площадь комнаты на плане и в действительности.
- размеры 4,5 м и 3,6 м
- масштаб 1 : 50
- размеры на плане
- площадь на плане и настоящую площадь
-
\(4{,}5\) м \(= 450\) см, \(450 : 50 = 9\) (см) — длина на плане.
-
\(3{,}6\) м \(= 360\) см, \(360 : 50 = 7{,}2\) (см) — ширина на плане.
-
\(9 \cdot 7{,}2 = 64{,}8\) (см²) — площадь на плане.
-
\(4{,}5 \cdot 3{,}6 = 16{,}2\) (м²) — настоящая площадь.
Заметим: длины на плане меньше в 50 раз, а площадь — в \(50 \cdot 50 = 2500\) раз: \(162\,000 : 64{,}8 = 2500\) (16,2 м² = 162 000 см²).
Типичные ошибки
На карте 4 см, на местности 2 км. Ученик пишет масштаб 4 : 2 = 2 : 1 и получает, что карта больше местности. Но сантиметры и километры сравнивать нельзя — это всё равно что сравнивать 4 рубля и 2 тысячи рублей как 4 и 2.
Сначала переведите обе длины в одни единицы: 2 км = 200 000 см. Масштаб \(4 : 200\,000 = 1 : 50\,000\).
Масштаб 1 : 100 000, на карте 5 см. Ученик делит 5 на 100 000 и получает крошечное расстояние на местности. Но местность больше карты, значит, расстояние на местности должно получиться больше.
С карты на местность — умножаем на второе число масштаба: \(5 \cdot 100\,000 = 500\,000\) см = 5 км. С местности на карту — делим.
План в масштабе 1 : 100, на плане комната 20 см². Ученик умножает 20 на 100 и получает 2000 см² — меньше одного квадратного метра. Для комнаты это слишком мало.
Масштаб относится к длинам. Найдите настоящие длину и ширину, а площадь считайте по ним. Площадь при масштабе 1 : 100 меняется в \(100 \cdot 100 = 10\,000\) раз: \(20 \cdot 10\,000 = 200\,000\) см² = 20 м².
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что означает масштаб карты 1 : 50 000?
Показать ответ
Ответ: Б) 1 см на карте соответствует 500 м на местности
1 см на карте — это 50 000 см на местности, а 50 000 см = 500 м.
-
Масштаб карты 1 : 1 000 000, расстояние на карте 3,5 см. Сколько километров это расстояние на местности?
Показать ответ
Ответ: 35
\(3{,}5 \cdot 1\,000\,000 = 3\,500\,000\) см, а это 35 км.
-
В каких масштабах изображение больше настоящего предмета?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 10 : 1; В) 3 : 1
Если первое число масштаба больше второго, изображение больше предмета — так рисуют насекомых и мелкие детали.
-
На какой карте одно и то же расстояние изображено самым длинным отрезком?
Показать ответ
Ответ: Б) В масштабе 1 : 200 000
Чем меньше второе число масштаба, тем меньше уменьшено изображение и тем длиннее на карте тот же отрезок.
-
Расстояние на местности 12 км. Сколько сантиметров оно займёт на карте масштаба 1 : 400 000?
Показать ответ
Ответ: 3
12 км \(= 1\,200\,000\) см, \(1\,200\,000 : 400\,000 = 3\) см.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Масштаб карты 1 : 200 000. Расстояние между двумя сёлами на карте 4,5 см. Каково расстояние между ними на местности?
Подсказка
1 см на карте соответствует 200 000 см на местности, а 100 000 см — это 1 км.
Решение
- масштаб 1 : 200 000
- на карте 4,5 см
- расстояние на местности
-
\(4{,}5 \cdot 200\,000 = 900\,000\) (см) — расстояние на местности.
-
\(900\,000\) см \(= 9\,000\) м \(= 9\) км.
Ответ
Расстояние между городами 15 км. Какой длины отрезок изобразит это расстояние на карте масштаба 1 : 500 000?
Подсказка
Переведите километры в сантиметры и уменьшите в 500 000 раз.
Решение
- на местности 15 км
- масштаб 1 : 500 000
- длину отрезка на карте
-
\(15\) км \(= 1\,500\,000\) см.
-
\(1\,500\,000 : 500\,000 = 3\) (см) — длина отрезка на карте.
Ответ
На карте расстояние от деревни до озера 6 см, а на местности — 1,8 км. Найдите масштаб карты.
Подсказка
Масштаб — отношение длины на карте к длине на местности. Сначала выразите обе длины в сантиметрах.
Решение
- на карте 6 см
- на местности 1,8 км
- масштаб
-
\(1{,}8\) км \(= 180\,000\) см.
-
Масштаб равен отношению \(6 : 180\,000\). Разделим оба члена на 6: \(6 : 180\,000 = 1 : 30\,000\).
Ответ
Длина настоящего автомобиля 4 м 73 см. Какой длины будет его модель, сделанная в масштабе 1 : 43?
Подсказка
Модель в 43 раза меньше настоящего автомобиля. Выразите длину в сантиметрах.
Решение
- длина автомобиля 4 м 73 см
- масштаб 1 : 43
- длину модели
-
4 м 73 см \(= 473\) см.
-
\(473 : 43 = 11\) (см) — длина модели.
Проверка: \(11 \cdot 43 = 473\) см. Верно.
Ответ
На плане в масштабе 1 : 1000 прямоугольный участок имеет размеры 4,5 см и 3 см. Найдите настоящие размеры участка, его периметр и площадь.
Подсказка
Сначала найдите настоящие длину и ширину в метрах, а уже по ним — периметр и площадь.
Решение
- масштаб 1 : 1000
- на плане 4,5 см и 3 см
- размеры
- периметр и площадь участка
-
\(4{,}5 \cdot 1000 = 4500\) (см) \(= 45\) м — длина участка.
-
\(3 \cdot 1000 = 3000\) (см) \(= 30\) м — ширина участка.
-
\((45 + 30) \cdot 2 = 150\) (м) — периметр.
-
\(45 \cdot 30 = 1350\) (м²) — площадь.
Площадь нельзя получить, умножив площадь на плане на 1000: длина и ширина увеличиваются каждая в 1000 раз, поэтому площадь — в \(1000 \cdot 1000\) раз.
Ответ
На карте масштаба 1 : 2 000 000 расстояние между двумя городами 7,5 см. Какой длины будет отрезок между этими городами на карте масштаба 1 : 5 000 000?
Подсказка
Сначала найдите настоящее расстояние между городами, потом изобразите его на второй карте.
Решение
- на первой карте 7,5 см
- масштаб 1 : 2 000 000; масштаб второй карты 1 : 5 000 000
- длину отрезка на второй карте
-
\(7{,}5 \cdot 2\,000\,000 = 15\,000\,000\) (см) \(= 150\) км — расстояние на местности.
-
\(15\,000\,000 : 5\,000\,000 = 3\) (см) — длина отрезка на второй карте.
Вторая карта мельче первой, поэтому отрезок на ней короче — так и получилось.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите бумажную карту или откройте карту в телефоне: внизу есть масштабная линейка («1 см — 500 м»). Попросите ребёнка линейкой измерить расстояние от дома до школы на карте и пересчитать в метры. Потом нарисуйте вместе план его комнаты в масштабе 1 : 50 (1 см на плане — 50 см в комнате): сначала измерьте рулеткой стены, затем разделите на 50.
Вопросы для проверки понимания: 1) Что значит масштаб 1 : 100 000? Сколько километров в 1 см такой карты? 2) На какой карте подробнее виден город — 1 : 10 000 или 1 : 1 000 000? 3) На рисунке масштаб 5 : 1. Рисунок больше или меньше настоящего предмета?
На что обратить внимание. Главные трудности — перевод единиц (сколько сантиметров в километре) и выбор действия: умножать или делить. Приучайте к прикидке: расстояние на местности всегда больше, чем на карте, а на карте не бывает отрезков длиной в сотни метров.