Что значит умножить 2,3 на 4?

Сложить четыре слагаемых, каждое равно 2,3

Сложить 2 и 3, а потом умножить на 4

Умножить на 4 только целую часть

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Коротко о главном

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, умножают их, не обращая внимания на запятую, а потом в произведении отделяют запятой справа столько цифр, сколько их было после запятой в дроби. При умножении на 10, 100, 1000 запятую просто переносят вправо на 1, 2, 3 цифры.

1{,}14 \cdot 4 = 4{,}56, \qquad 3{,}25 \cdot 100 = 325

Подробное объяснение

Что значит умножить дробь на число

Шоколадка стоит 89,5 р. Сколько стоят 3 шоколадки? Можно сложить: $$89{,}5 + 89{,}5 + 89{,}5 = 268{,}5$$ р. Сумма одинаковых слагаемых — это и есть произведение: $89{,}5 \cdot 3$ .

Произведение десятичной дроби и натурального числа — это сумма слагаемых, каждое из которых равно этой дроби, а их количество равно натуральному числу.

Складывать долго, если слагаемых 25 или 100. Нужен короткий способ.

Правило запятой

Заметим, что $$89{,}5$$ — это 895 десятых. Тогда 3 шоколадки стоят $895 \cdot 3 = 2685$ десятых, то есть $$268{,}5$$ р. Получается, можно умножить числа как натуральные, а потом вернуть запятую на место.

Алгоритм.

Умножьте дробь на число, не обращая внимания на запятую.
В произведении отделите запятой справа столько цифр, сколько их было после запятой в дроби.

Пример: $0{,}36 \cdot 7$ . Считаем $36 \cdot 7 = 252$ . В дроби $$0{,}36$$ две цифры после запятой — отделяем две: $$2{,}52$$ .

Если в произведении цифр не хватает, слева дописывают нули: $0{,}004 \cdot 2$ , $4 \cdot 2 = 8$ , нужно отделить три цифры — пишем $$0{,}008$$ .

Если на конце после запятой получились нули, их можно отбросить: $1{,}25 \cdot 4 = 5{,}00 = 5$ .

Умножение на 10, 100, 1000

Посчитаем $2{,}375 \cdot 10$ . Сначала $2375 \cdot 10 = 23\,750$ , отделяем три цифры — $$23{,}750 = 23{,}75$$ . Цифры те же, а запятая сдвинулась на одну цифру вправо.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., переносят запятую вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе. Если цифр не хватает, справа приписывают нули: $4{,}2 \cdot 1000 = 4{,}200 \cdot 1000 = 4200$ .

Цифры 2, 3, 7, 5 числа 2,375 в клетках. При умножении на 10, 100, 1000 цифры остаются на месте, а запятая перескакивает вправо на 1, 2, 3 клетки; при умножении на 10 000 справа приписан ноль. — Сколько нулей в множителе, на столько цифр вправо переносят запятую; если цифр не хватает, приписывают нули.

Это удобно для перевода единиц: $$3{,}5$$ км $= 3{,}5 \cdot 1000 = 3500$ м, $$2{,}4$$ млн $= 2{,}4 \cdot 1\,000\,000 = 2\,400\,000$ .

Свойства умножения

Для десятичных дробей работают те же законы, что и для натуральных чисел. Множители можно переставлять и группировать: $0{,}25 \cdot 9 \cdot 4 = (0{,}25 \cdot 4) \cdot 9 = 1 \cdot 9 = 9$ . Можно раскрывать скобки: $(2{,}4 + 1{,}6) \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$ . Умножение на 1 не меняет дробь, на 0 — даёт 0.

Как решать задачи

Прикиньте ответ: $4{,}9 \cdot 6$ — это почти $5 \cdot 6 = 30$ . Прикидка помогает поймать ошибку с запятой.
Перемножьте числа без запятой (столбиком, если числа большие).
Посчитайте цифры после запятой в дроби и отделите столько же в ответе.
Отбросьте нули на конце дробной части.
Сверьте результат с прикидкой.

Разобранные примеры

База

Покупка сыра

Условие

1 кг сыра стоит 640 р. Сколько стоят 3 упаковки сыра по 0,35 кг?

Решение

Масса сыра: $0{,}35 \cdot 3 = 1{,}05$ кг ( $35 \cdot 3 = 105$ , отделяем две цифры).
Стоимость: $1{,}05 \cdot 640$ . Считаем $105 \cdot 640 = 67\,200$ , отделяем две цифры: $$672{,}00 = 672$$ р.

Ответ: 672 р.

Средний

Нули в произведении

Условие

Вычислите $0{,}0125 \cdot 16$ .

Решение

$125 \cdot 16 = 2000$ . В дроби $$0{,}0125$$ четыре цифры после запятой, отделяем четыре: $$0{,}2000 = 0{,}2$$ .

Прикидка: $0{,}01 \cdot 16 = 0{,}16$ , ответ немного больше — сходится.

Ответ: 0,2

Сложный

Значение выражения

Условие

Найдите значение выражения $$4{,}7a + 2{,}8a - 1{,}5a$$ при $$a = 35$$ .

Решение

Сначала упростим: $$4{,}7a + 2{,}8a - 1{,}5a = (4{,}7 + 2{,}8 - 1{,}5)a = 6a$$ .

При $$a = 35$$ получаем $6 \cdot 35 = 210$ .

Ответ: 210

Типичные ошибки

Ставят запятую «как в дроби», отсчитывая цифры слева

Почему неверно

В $4{,}8 \cdot 5$ получают $48 \cdot 5 = 240$ и ставят запятую после первой цифры, как в числе $$4{,}8$$ : выходит $$2{,}4$$ . Но 5 раз по 4,8 — это почти 25, а не 2,4. Ответ в 10 раз меньше верного.

Как правильно

Цифры отсчитывают с правого конца произведения: в $$4{,}8$$ одна цифра после запятой, значит, $240 \to 24{,}0 = 24$ . Прикидка $5 \cdot 5 = 25$ подтверждает ответ.

Не дописывают нули, когда цифр не хватает

Почему неверно

В примере $0{,}03 \cdot 2$ считают $3 \cdot 2 = 6$ , а отделить нужно две цифры, есть только одна. Ученик пишет $$0{,}6$$ — это в 10 раз больше.

Как правильно

Слева дописывают нули: $6 \to 0{,}06$ . Проверка сложением: $$0{,}03 + 0{,}03 = 0{,}06$$ .

При умножении на 100 приписывают нули к дроби

Почему неверно

По привычке с натуральными числами пишут $3{,}7 \cdot 100 = 3{,}700$ . Но $$3{,}700 = 3{,}7$$ — число не изменилось.

Как правильно

У десятичной дроби переносят запятую: на две цифры вправо, $3{,}7 \cdot 100 = 370$ (недостающую цифру заменили нулём).

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Одна тетрадь стоит 24,5 р. Сколько стоят 6 таких тетрадей?

Подсказка

Умножьте 245 на 6, а потом отделите запятой одну цифру справа.

Решение

Дано

цена тетради 24,5 р.
тетрадей 6

Найти

стоимость покупки

$245 \cdot 6 = 1470$ . В числе $$24{,}5$$ одна цифра после запятой, отделяем одну: $24{,}5 \cdot 6 = 147{,}0 = 147$ р.

Ответ

147 р.

База Задача 2

Вычислите $0{,}307 \cdot 100$ и $0{,}307 \cdot 1000$ .

Решение

При умножении на 100 запятую переносим на 2 цифры вправо: $0{,}307 \cdot 100 = 30{,}7$ .

При умножении на 1000 — на 3 цифры: $0{,}307 \cdot 1000 = 307$ .

Ответ

30,7; 307

Средний Задача 3

Найдите произведение $0{,}045 \cdot 28$ .

Подсказка

После запятой в дроби три цифры — столько же отделите в произведении, при необходимости дописав нули слева.

Решение

$45 \cdot 28 = 1260$ . В дроби $$0{,}045$$ три цифры после запятой, отделяем три справа: $$1{,}260 = 1{,}26$$ .

Ответ

1,26

Средний Задача 4

Сторона правильного шестиугольника равна 7,35 см. Найдите его периметр.

Решение

Дано

6 равных сторон по $$7{,}35$$ см

Найти

периметр $$P$$

$P = 7{,}35 \cdot 6$ . Считаем $735 \cdot 6 = 4410$ , отделяем две цифры: $$44{,}10 = 44{,}1$$ см.

Ответ

44,1 см

Сложный Задача 5

В магазин привезли 12 ящиков яблок по 18,5 кг и 15 ящиков груш по 12,4 кг. На сколько килограммов яблок привезли больше, чем груш?

Решение

Дано

яблоки — 12 ящиков по $$18{,}5$$ кг
груши — 15 ящиков по $$12{,}4$$ кг

Найти

разницу масс

Яблок: $18{,}5 \cdot 12 = 222$ кг ( $185 \cdot 12 = 2220$ , отделяем одну цифру).
Груш: $12{,}4 \cdot 15 = 186$ кг ( $124 \cdot 15 = 1860$ , отделяем одну цифру).
Разница: $$222 - 186 = 36$$ кг.

Ответ

на 36 кг

Сложный Задача 6

Вычислите удобным способом $0{,}125 \cdot 7 \cdot 8$ .

Подсказка

Переставьте множители так, чтобы сначала умножить 0,125 на 8.

Решение

По переместительному свойству $0{,}125 \cdot 7 \cdot 8 = (0{,}125 \cdot 8) \cdot 7$ .

$0{,}125 \cdot 8 = 1{,}000 = 1$ , затем $1 \cdot 7 = 7$ .

Ответ

7

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите чек из магазина или ценник: «Йогурт стоит 54,9 р., сколько стоят 4?» Пусть ребёнок сначала сложит четыре раза, потом посчитает $549 \cdot 4 = 2196$ и вернёт запятую — 219,6 р. Совпадение двух способов убеждает лучше правила. Для умножения на 10 и 100 подойдут деньги: 2,5 р. десять раз — это 25 р.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько цифр после запятой будет в $0{,}125 \cdot 3$ до отбрасывания нулей? 2) Чему равно $0{,}07 \cdot 1000$ и почему? 3) Почему $0{,}5 \cdot 6$ меньше 6?

На что обратить внимание. Главная ошибка — запятая не на месте, ответ отличается в 10 или 100 раз. Приучайте прикидывать результат заранее и проверять, правдоподобен ли он: три батона по 45,9 р. не могут стоить 13,77 р.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 45	6.171, 6.172, 6.173, 6.174, 6.175, 6.176, 6.177, 6.178, 6.179, 6.180, 6.181, 6.182, 6.183, 6.184, 6.185, 6.186, 6.187, 6.188, 6.189, 6.190, 6.191, 6.192, 6.193, 6.194, 6.195, 6.196, 6.197, 6.198, 6.199, 6.200, 6.201, 6.202, 6.203, 6.204, 6.205, 6.206, 6.207, 6.208