Почему результат округления 5,196 до сотых записывают как 5,20, а не 5,2?

Нуль показывает, что округление выполнено до сотых

Так требует правило: в ответе всегда две цифры после запятой

Число 5,20 больше, чем 5,2

Без нуля округление было бы неверным

Масса ящиков 2,8 т, 1,7 т и 0,9 т. Прикидка с недостатком: 2 + 1 + 0 = 3 т. Что можно сказать о настоящей массе?

О ней ничего нельзя сказать

Округление чисел. Прикидка — 5 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сравнение десятичных дробей

Коротко о главном

Округлить число — заменить его близким, но более «круглым» числом с меньшим количеством значащих цифр. Смотрят на первую отбрасываемую цифру: если она 5, 6, 7, 8 или 9, последнюю оставленную цифру увеличивают на 1; если 0, 1, 2, 3 или 4 — оставляют как есть.

7{,}36 \approx 7{,}4 \qquad 7{,}34 \approx 7{,}3

Подробное объяснение

Спросите, сколько стоит проезд, и вам скажут «примерно 60 рублей», хотя на билете 58,5. Мы постоянно заменяем точные числа удобными: так их легче запомнить, сравнить и сложить в уме. Такая замена называется округлением, а полученное число — приближённым значением. Пишут знак «≈» — «приближённо равно»: $58{,}5 \approx 60$ .

С недостатком и с избытком

Пусть рост брата больше 1,4 м, но меньше 1,5 м: $$1{,}4 < h < 1{,}5$$ . Число 1,4 называют приближённым значением $$h$$ с недостатком (оно меньше настоящего), а 1,5 — с избытком (оно больше). Чтобы получить приближение с недостатком до целых, достаточно отбросить дробную часть: $4{,}86 \to 4$ . С избытком — к целой части прибавить 1: $4{,}86 \to 5$ .

Округление — к ближайшему

Обычно из двух приближений выбирают ближайшее. Все числа от 7 до 8 лежат на одном отрезке координатной прямой. Середина отрезка — 7,5. Числа левее середины ближе к 7, правее — ближе к 8.

Отрезок координатной прямой от 7 до 8 с делениями через 0,1. Левая половина до 7,5 подписана «ближе к 7», правая — «ближе к 8». Стрелки показывают, что 7,3 ≈ 7, а 7,8 ≈ 8; середина 7,5 округляется до 8. — Число округляют до ближайшего целого; середину отрезка, 7,5, договорились округлять в большую сторону.

Число $$7{,}3$$ ближе к 7, поэтому $7{,}3 \approx 7$ . Число $$7{,}8$$ ближе к 8: $7{,}8 \approx 8$ . А $$7{,}5$$ стоит ровно посередине — для такого случая договорились округлять в большую сторону: $7{,}5 \approx 8$ .

Отсюда и правило: всё решает цифра десятых. Если она 0–4, число ближе к меньшему целому, если 5–9 — к большему.

Округление до любого разряда

Так же округляют до десятков, сотен, десятых, сотых — до любого разряда. Алгоритм:

Найдите цифру разряда, до которого округляете.
Посмотрите на цифру справа от неё. Если это 5, 6, 7, 8 или 9 — увеличьте цифру разряда на 1. Если 0, 1, 2, 3 или 4 — не меняйте.
Все цифры правее разряда в целой части замените нулями, а в дробной части — отбросьте.

Например, $$64{,}2871$$ до сотых: цифра сотых 8, справа 7, поэтому $64{,}2871 \approx 64{,}29$ . А $3\,862$ до сотен: цифра сотен 8, справа 6, поэтому $3\,862 \approx 3\,900$ .

Если увеличиваемая цифра — 9, она превращается в 0, а единица переходит в соседний левый разряд: $2{,}97 \approx 3{,}0$ (до десятых). Нуль в конце не стирают — он показывает, до какого разряда округлили. $$3{,}0$$ означает «с точностью до десятых», а $$3$$ — «до целых».

Прикидка

Округление помогает быстро проверить вычисления. Перед точным расчётом округлите числа и посчитайте в уме — это прикидка. Если точный ответ сильно отличается от прикидки, где-то ошибка.

Прикидка с недостатком полезна, когда важно не превысить предел. Если даже заниженная сумма масс больше грузоподъёмности, перевозить груз нельзя — точный расчёт уже не нужен. Прикидка с избытком работает наоборот: если завышенная сумма укладывается в предел, настоящая — тем более.

Как решать задачи

Определите разряд, до которого нужно округлить (до целых — это до единиц).
Посмотрите на первую цифру справа от этого разряда — только на неё одну.
Увеличьте цифру разряда на 1 или оставьте её, затем отбросьте дробные цифры правее и замените нулями целые.
Не стирайте нули на конце дробной части, если они стоят в разряде округления.
Для прикидки округлите все данные, посчитайте и сравните с точным ответом или с ограничением из условия.

Разобранные примеры

База

Округляем до десятых и до целых

Условие

Округлите число $$15{,}648$$ до десятых и до целых.

Решение

До десятых: цифра десятых — 6, справа от неё 4. Цифра 4 меньше 5, поэтому 6 не меняем, а 4 и 8 отбрасываем: $15{,}648 \approx 15{,}6$ .

До целых: цифра единиц — 5, справа от неё 6. Цифра 6 больше 5, поэтому 5 увеличиваем на 1: $15{,}648 \approx 16$ .

Ответ: ≈ 15,6; ≈ 16

Средний

Девятка в разряде округления

Условие

Округлите число $$0{,}6982$$ до сотых, а число $49\,960$ — до сотен.

Решение

$$0{,}6982$$ : цифра сотых — 9, справа 8. Увеличиваем 9 на 1: $$0{,}69 + 0{,}01 = 0{,}70$$ . Нуль в разряде сотых оставляем: $0{,}6982 \approx 0{,}70$ .

$49\,960$ : цифра сотен — 9, справа 6. Увеличиваем: $$499$$ сотен $$+ 1$$ сотня $$= 500$$ сотен, остальные цифры заменяем нулями: $49\,960 \approx 50\,000$ .

Ответ: ≈ 0,70; ≈ 50 000

Сложный

Хватит ли места в багажнике

Условие

В багажник можно положить не больше 50 кг. Сумки весят 12,7 кг, 9,4 кг, 15,8 кг и 11,6 кг. Сделайте прикидку и решите, можно ли положить все сумки.

Решение

Прикидка с недостатком: отбросим дробные части — $$12 + 9 + 15 + 11 = 47$$ кг. Это меньше 50, но настоящая масса больше, поэтому вывод делать рано.

Прикидка с избытком: возьмём следующие целые — $$13 + 10 + 16 + 12 = 51$$ кг. Тоже ничего не решает: 51 больше 50.

Считаем точно: $$12{,}7 + 9{,}4 + 15{,}8 + 11{,}6 = 49{,}5$$ кг. Это меньше 50 кг — сумки поместятся.

Ответ: Можно: 49,5 кг < 50 кг

Типичные ошибки

Округляют «по цепочке» с конца числа

Почему неверно

Ученик округляет $$4{,}347$$ до десятых так: сначала $4{,}347 \approx 4{,}35$ , потом $4{,}35 \approx 4{,}4$ . Но число $$4{,}347$$ ближе к $$4{,}3$$ , чем к $$4{,}4$$ : оно меньше середины $$4{,}35$$ . Последовательные округления накопили ошибку.

Как правильно

Смотрите только на одну цифру — первую справа от разряда округления. У $$4{,}347$$ справа от десятых стоит 4, значит, $4{,}347 \approx 4{,}3$ .

Стирают нули на конце результата

Почему неверно

$$8{,}396$$ до сотых — это $$8{,}40$$ . Если записать просто $$8{,}4$$ , читатель решит, что округляли до десятых, и сведения о точности пропадут.

Как правильно

Сохраняйте столько цифр после запятой, сколько требует разряд округления, даже если последние из них — нули: до сотых — две цифры, до тысячных — три.

В целой части отбрасывают цифры вместо нулей

Почему неверно

$5\,734$ до сотен записывают как $$57$$ . Но $$57$$ в сто раз меньше исходного числа — это совсем другое число.

Как правильно

В целой части цифры правее разряда округления заменяют нулями: $5\,734 \approx 5\,700$ . Отбрасывают цифры только в дробной части.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Округлите число $$6{,}472$$ до десятых.

Подсказка

Посмотрите на цифру сотых — она стоит сразу справа от разряда десятых.

Решение

Цифра десятых — 4, справа от неё стоит 7. Это 5 или больше, поэтому 4 увеличиваем на 1, а остальные цифры дробной части отбрасываем.

$6{,}472 \approx 6{,}5$ .

Ответ

≈ 6,5

База Задача 2

Между какими соседними натуральными числами лежит число $$17{,}38$$ ? Запишите его приближения до единиц с недостатком и с избытком.

Решение

Целая часть числа — 17, значит, $$17 < 17{,}38 < 18$$ .

Приближение с недостатком — 17, с избытком — 18.

Ответ

17 < 17,38 < 18; с недостатком 17, с избытком 18

Средний Задача 3

Округлите число $$3{,}9962$$ до сотых и до тысячных.

Подсказка

При округлении до сотых девятка в разряде сотых увеличивается на 1 и превращается в 0 с переносом влево.

Решение

До сотых: цифра сотых — 9, справа от неё 6. Увеличиваем 9 на 1 — получается 10, единица переходит в десятые, а там тоже 9, и снова перенос: $$3{,}99 + 0{,}01 = 4{,}00$$ . Нули оставляем — они показывают, что округляли до сотых: $3{,}9962 \approx 4{,}00$ .

До тысячных: цифра тысячных — 6, справа 2, её отбрасываем: $3{,}9962 \approx 3{,}996$ .

Ответ

≈ 4,00; ≈ 3,996

Средний Задача 4

В магазине купили сыр за 287,6 р., хлеб за 48,9 р. и молоко за 91,3 р. Сделайте прикидку, округлив цены до десятков рублей, и найдите точную сумму.

Решение

Прикидка: $287{,}6 \approx 290$ , $48{,}9 \approx 50$ , $91{,}3 \approx 90$ . Сумма примерно $$290 + 50 + 90 = 430$$ р.

Точно: $$287{,}6 + 48{,}9 + 91{,}3 = 427{,}8$$ р. Прикидка близка к точному ответу — значит, в сложении нет грубой ошибки.

Ответ

прикидка ≈ 430 р.; точно 427,8 р.

Сложный Задача 5

После округления до десятых получилось $$5{,}3$$ . Какое наименьшее и какое наибольшее число с двумя цифрами после запятой могло быть до округления?

Подсказка

До $$5{,}3$$ округляются числа, которые ближе к $$5{,}3$$ , чем к $$5{,}2$$ и $$5{,}4$$ .

Решение

Если цифра сотых 5, 6, 7, 8 или 9, то десятые увеличиваются на 1. Значит, из чисел вида $5{,}2\_$ к $$5{,}3$$ округляются $$5{,}25$$ , $$5{,}26$$ , …, $$5{,}29$$ . Наименьшее — $$5{,}25$$ .

Если цифра сотых 0, 1, 2, 3 или 4, десятые не меняются: $$5{,}30$$ , …, $$5{,}34$$ округляются до $$5{,}3$$ . Наибольшее — $$5{,}34$$ .

Ответ

5,25 и 5,34

Сложный Задача 6

Лифт поднимает не больше 400 кг. В нём четыре человека массой 78,4 кг, 85,9 кг, 64,7 кг и 92,6 кг и груз 76,8 кг. Сделайте прикидку с недостатком и выясните, поедет ли лифт.

Подсказка

Возьмите у каждой массы только целую часть — сумма получится меньше настоящей.

Решение

Возьмём приближения с недостатком до целых: 78, 85, 64, 92 и 76 кг. Их сумма: $$78 + 85 + 64 + 92 + 76 = 395$$ кг.

Это меньше 400, но настоящая масса больше прикидки, так что вывод пока сделать нельзя. Добавим отброшенные дробные части: $$0{,}4 + 0{,}9 + 0{,}7 + 0{,}6 + 0{,}8 = 3{,}4$$ кг.

Точная масса: $$395 + 3{,}4 = 398{,}4$$ кг — меньше 400 кг. Лифт поедет, но запас всего 1,6 кг.

Ответ

Поедет, 398,4 кг < 400 кг

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите линейку и отметьте на ней 7,3 см и 7,8 см. Спросите: до какого целого сантиметра ближе каждая отметка? Ребёнок сам увидит, что 7,3 ближе к 7, а 7,8 — к 8. Затем покажите середину, 7,5 см, и объясните договорённость: её округляют вверх. После этого переходите к правилу «смотрим на соседнюю справа цифру». Хорошая тренировка — чек из магазина: пусть ребёнок округлит цены до десятков рублей и прикинет сумму до того, как вы её увидите.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему $6{,}5 \approx 7$ , а не 6? 2) Чем отличаются записи $$2{,}5$$ и $$2{,}50$$ , если обе получены округлением? 3) Если сумма приближений с недостатком больше предела, нужно ли считать точно?

На что обратить внимание. Главная ошибка — округлять по цепочке, начиная с последней цифры. Проверяйте, что ребёнок смотрит только на одну цифру справа от нужного разряда и не теряет нули на конце дробной части.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 44	6.134, 6.135, 6.136, 6.137, 6.138, 6.139, 6.140, 6.141, 6.142, 6.143, 6.144, 6.145, 6.146, 6.147, 6.148, 6.149, 6.150, 6.151, 6.152, 6.153, 6.154, 6.155, 6.156, 6.157, 6.158, 6.159, 6.160, 6.161, 6.162, 6.163, 6.164, 6.165, 6.166, 6.167, 6.168, 6.169, 6.170