Сложение и вычитание десятичных дробей

В кошельке 12 рублей 70 копеек, вам дали ещё 3 рубля 48 копеек. Сколько стало? Вы сложите рубли с рублями, копейки с копейками и получите 16 рублей 18 копеек. Сложение десятичных дробей устроено точно так же: каждый разряд складывается со своим разрядом. Десятые — с десятыми, сотые — с сотыми, единицы — с единицами.

Почему запятая под запятой

Запятая отделяет целую часть от дробной. Если записать числа так, чтобы запятые оказались одна под другой, все разряды сами встанут на свои места: единицы под единицами, десятые под десятыми. Если же выровнять числа по правому краю, как натуральные, получится, что сотые складываются с десятыми, а это всё равно что складывать копейки с рублями.

Зачем дописывать нули

Нуль в конце дробной части не меняет число: \(12{,}7 = 12{,}70\), ведь 7 десятых — это 70 сотых. Нули нужны для удобства: когда знаков после запятой поровну, столбик выглядит как обычное сложение натуральных чисел и пустых клеток нет. Особенно это важно при вычитании: в \(5 - 1{,}37\) уменьшаемое удобно записать как \(5{,}00\), и тогда видно, у какого разряда занимать единицу.

Правило

Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби столбиком:

1. Запишите числа друг под другом так, чтобы запятая была под запятой.
2. Уравняйте число знаков после запятой, дописав нули справа. У натурального числа сначала поставьте запятую: \(5 = 5{,}00\).
3. Сложите или вычтите, как натуральные числа, не обращая внимания на запятую.
4. В ответе поставьте запятую под запятыми.

Нули в конце ответа можно отбросить: \(78{,}600 = 78{,}6\).

Свойства сложения работают и здесь

Десятичная дробь — это другая запись обыкновенной дроби, поэтому для неё верны переместительное и сочетательное свойства сложения и свойства вычитания. Ими пользуются, чтобы считать быстрее: в сумме \(2{,}37 + 5{,}8 + 0{,}63\) удобно сначала сложить \(2{,}37 + 0{,}63 = 3\), а потом прибавить \(5{,}8\) — получится \(8{,}8\).

Разложение по разрядным слагаемым

Любую десятичную дробь можно записать как сумму её разрядов. Например,

Первая цифра после запятой показывает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные, дальше идут десятитысячные, стотысячные, миллионные. Разрядные единицы дробной части — 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Разряды с нулём в разложение не записывают: \(3{,}05 = 3 + 0{,}05\).

Разложение помогает и на координатной прямой. Чтобы отметить \(1{,}53 = 1 + 0{,}5 + 0{,}03\), откладывают один единичный отрезок, затем 5 его десятых долей, затем ещё 3 сотые доли.

Как решать задачи

1. В текстовой задаче выясните, какое действие нужно: «на … больше», «вместе», «всего» — сложение; «на … меньше», «на сколько больше», «осталось» — вычитание.
2. Проверьте единицы: метры с метрами, тонны с тоннами. Если единицы разные, переведите в одни.
3. Считайте столбиком по правилу: запятая под запятой, нули дописаны.
4. Проверьте ответ обратным действием: сумму — вычитанием, разность — сложением.
5. Оцените результат: сумма \(3{,}9 + 2{,}05\) должна быть около 6, а не 0,6 и не 60.