Числовые и буквенные выражения

Представь, что в магазине булочка стоит 25 рублей, а сок — на 40 рублей дороже. Сколько стоят булочка и сок вместе? Ответ удобно записать одной строчкой: \(25 + (25 + 40)\). Это и есть числовое выражение — запись из чисел, знаков действий и скобок.

Значение выражения

Если выполнить все действия, получится число. Его называют значением выражения: \(25 + (25 + 40) = 25 + 65 = 90\). Булочка и сок стоят 90 рублей.

Действия выполняют по правилам: сначала в скобках, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание. Действия одной ступени — слева направо.

Буквенное выражение

Завтра цены могут измениться. Чтобы не решать задачу заново, неизвестную или меняющуюся величину обозначают буквой. Пусть сок дороже булочки на \(p\) рублей. Тогда булочка и сок стоят \(25 + (25 + p)\) рублей.

Выражение с буквой называют буквенным. Буква может обозначать разные числа. Числа, которые подставляют вместо буквы, — значения буквы. Подставили число — получили числовое выражение, вычислили — получили его значение.

При \(p = 40\) получаем \(25 + (25 + 40) = 90\). При \(p = 10\) получаем \(25 + (25 + 10) = 60\). Одно буквенное выражение решает сразу целую серию похожих задач.

Как читать и записывать выражения

Выражение называют по последнему действию. \((m + 5) - 9\) — это разность: уменьшаемое \(m + 5\), вычитаемое \(9\). Читают: «разность суммы \(m\) и 5 и числа 9».

Если слагаемое или вычитаемое само является выражением, его берут в скобки. «Из 90 вычесть сумму \(x\) и 25» — это \(90 - (x + 25)\), а не \(90 - x + 25\).

Свойства действий буквами

Буквы помогают записать свойства сложения и вычитания сразу для всех чисел:

• \(a + b = b + a\) — переместительное свойство;
• \((a + b) + c = a + (b + c)\) — сочетательное;
• \(a + 0 = a\), \(a - 0 = a\), \(a - a = 0\) — свойства нуля;
• \(a - (b + c) = a - b - c\) — вычитание суммы из числа;
• \((a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c)\) — вычитание числа из суммы (если вычитание выполнимо).

С их помощью выражения упрощают: собирают все числа вместе. Например, \(176 + a + 24 = a + (176 + 24) = a + 200\). Такое выражение легче считать при любом \(a\).

Как решать задачи

1. Прочитай задачу и найди, какие величины известны, а какие обозначены буквами.
2. Запиши каждую промежуточную величину выражением: «на 4 больше» — \(x + 4\), «на 4 меньше» — \(x - 4\).
3. Составь выражение для ответа; вычитаемые и слагаемые-выражения бери в скобки.
4. Если можно, упрости: сложи или вычти числа отдельно от буквы.
5. Подставь значения букв и вычисли. Проверь, что ответ имеет смысл: нельзя продать больше, чем привезли.