Что называют процентом?

Сотую долю величины

Десятую долю величины

Тысячную долю величины

Половину величины

Проценты — 6 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Процент — это сотая доля величины. Чтобы перевести число в проценты, его умножают на 100; чтобы перевести проценты в число, их делят на 100. В задачах на проценты почти всегда помогает один шаг: сначала найти, чему равен 1 %.

1\,\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01

Подробное объяснение

Сотая доля

Сотые доли встречаются на каждом шагу: копейка — сотая доля рубля, сантиметр — сотая доля метра, килограмм — сотая доля центнера. Эту долю так часто используют, что у неё есть своё название — процент — и свой знак %.

Вся величина целиком — это 100 %. Половина — 50 %, четверть — 25 %, десятая часть — 10 %. На квадрате из 100 клеток 1 % — одна клетка, а 25 % — двадцать пять клеток.

Слева квадрат из 100 клеток, 25 закрашены — это 25 %, одна клетка — 1 %. Справа схема 25 % от 360 р. — 100 % делят на 100, получают 1 % (3,6 р.), умножают на 25 — 90 р. — Весь квадрат — 100 %, одна клетка — 1 %. Чтобы найти проценты от числа, сначала находят 1 %.

Перевод чисел и процентов

Чтобы перевести число в проценты, его умножают на 100: $0{,}37 = 37\,\%$ , $1{,}2 = 120\,\%$ , $\dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60\,\%$ . Обыкновенную дробь удобно сначала превратить в десятичную.

Чтобы перевести проценты в число, их делят на 100: $8\,\% = 0{,}08$ , $150\,\% = 1{,}5$ , $0{,}5\,\% = 0{,}005$ .

Процентов может быть и больше ста. Если урожай в этом году 130 % прошлогоднего, значит, он больше прошлогоднего на 30 %.

Три главные задачи

1. Найти проценты от числа. В классе 25 учеников, 60 % из них ходят в спортивные секции. Сколько это человек? 1 % класса — это $$25 : 100 = 0{,}25$$ ученика, а 60 % — $0{,}25 \cdot 60 = 15$ учеников. Можно короче: $25 \cdot 0{,}6 = 15$ .

2. Найти число по его процентам. 18 страниц — это 30 % книги. Сколько страниц в книге? На 1 % приходится $$18 : 30 = 0{,}6$$ страницы, на 100 % — $0{,}6 \cdot 100 = 60$ страниц.

3. Найти, сколько процентов одно число составляет от другого. Из 50 семян взошло 42. Сначала находим часть: $$42 : 50 = 0{,}84$$ . Потом переводим её в проценты: $0{,}84 \cdot 100 = 84\,\%$ .

Во всех трёх задачах важно понять, какая величина принята за 100 %. Обычно это «всё»: весь класс, вся книга, все семена, старая цена.

Промилле

Иногда нужны доли ещё мельче — тысячные. Тысячную долю называют промилле и обозначают ‰: $1\,‰ = \dfrac{1}{1000} = 0{,}1\,\%$ . Например, солёность морской воды измеряют в промилле: 35 ‰ значит 35 г соли в 1000 г воды, то есть 3,5 %.

Как решать задачи

Прочитайте условие и найдите величину, которая составляет 100 % («всё», «первоначальная цена», «весь путь»).
Определите, что известно: само целое, его часть в процентах или две величины без процентов.
Если целое известно, а нужна его часть, — разделите целое на 100 и умножьте на число процентов.
Если известна часть и её проценты, а целое неизвестно, — разделите часть на число процентов (получите 1 %) и умножьте на 100.
Если нужно узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, — разделите часть на целое и умножьте на 100.
Если проценты меняются в несколько шагов (скидка, потом наценка), считайте каждый шаг от своей величины.
Проверьте ответ прикидкой: часть меньше 100 % должна быть меньше целого, 50 % — половина, 10 % — десятая часть.

Разобранные примеры

База

Скидка в магазине

Условие

Кроссовки стоят 3600 р. На них скидка 15 %. Сколько рублей составляет скидка и сколько нужно заплатить?

Дано

цена 3600 р.
скидка 15 %

Найти

размер скидки и новую цену

Решение

$$3600 : 100 = 36$$ (р.) — это 1 % цены.
$36 \cdot 15 = 540$ (р.) — скидка.
$$3600 - 540 = 3060$$ (р.) — цена со скидкой.

Ответ: Скидка 540 р., заплатить нужно 3060 р.

Средний

Сколько стоил телефон

Условие

Мама отложила на покупку телефона 7200 р., и это оказалось 45 % его цены. Сколько стоит телефон?

Дано

7200 р. — это 45 % цены

Найти

цену телефона

Решение

$$7200 : 45 = 160$$ (р.) — приходится на 1 % цены.
$160 \cdot 100 = 16\,000$ (р.) — вся цена, 100 %.

Проверка: $16\,000 : 100 \cdot 45 = 7200$ . Верно.

Ответ: 16 000 р.

Сложный

Какой процент учеников сдал норматив

Условие

В параллели шестых классов 120 учеников. Норматив по бегу сдали 54 ученика. Какой процент учеников сдал норматив, а какой — не сдал?

Дано

всего 120 учеников
сдали 54

Найти

процент сдавших и процент не сдавших

Решение

$$54 : 120 = 0{,}45$$ — такая часть учеников сдала норматив.
$0{,}45 \cdot 100 = 45$ (%) — сдали норматив.
$$100 - 45 = 55$$ (%) — не сдали норматив.

Проверка: не сдали $$120 - 54 = 66$$ учеников, и $66 : 120 = 0{,}55 = 55\,\%$ . Верно.

Ответ: Сдали 45 %, не сдали 55 %.

Типичные ошибки

Переводят число в проценты, просто приписывая знак %

Почему неверно

Ученик пишет $0{,}3 = 0{,}3\,\%$ или $1{,}5 = 15\,\%$ . Но 0,3 % — это всего три тысячных, а число 0,3 — почти треть целого. Знак % означает «сотых долей», поэтому само число меняется.

Как правильно

Умножайте число на 100: $0{,}3 = 30\,\%$ , $1{,}5 = 150\,\%$ . Обратно — делите на 100: $7\,\% = 0{,}07$ .

Путают, какое число принято за 100 %

Почему неверно

Задача: «12 учеников — это 40 % класса. Сколько всего учеников?» Ученик находит 40 % от 12 и получает 4,8 ученика. Но 12 — это уже часть, а не весь класс. Ответ в дробных людях — верный признак ошибки.

Как правильно

Спросите себя: «Что здесь целое?» Целое — класс, он неизвестен. Значит, 1 % — это $$12 : 40 = 0{,}3$$ , а весь класс — $0{,}3 \cdot 100 = 30$ учеников.

Считают, что скидка и наценка на одинаковый процент отменяют друг друга

Почему неверно

Цену 1000 р. снизили на 10 %, потом повысили на 10 %. Кажется, что цена снова 1000 р. Но повышали уже от 900 р.: $$900 + 90 = 990$$ р.

Как правильно

На каждом шаге считайте проценты от той величины, которая была перед этим шагом.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите 15 % от 240 рублей.

Подсказка

Сначала найдите 1 % — разделите 240 на 100.

Решение

$$240 : 100 = 2{,}4$$ (р.) — это 1 %.
$2{,}4 \cdot 15 = 36$ (р.) — это 15 %.

Ответ

36 р.

База Задача 2

Переведите в проценты числа 0,4 и $\dfrac{3}{4}$ .

Подсказка

Чтобы перевести число в проценты, умножьте его на 100.

Решение

$0{,}4 = (0{,}4 \cdot 100)\,\% = 40\,\%$ .

$\dfrac{3}{4} = 0{,}75 = (0{,}75 \cdot 100)\,\% = 75\,\%$ .

Ответ

40 %; 75 %

Средний Задача 3

На экскурсию поехали 12 учеников, это 40 % класса. Сколько учеников в классе?

Подсказка

Если 40 % — это 12 человек, то 1 % в 40 раз меньше.

Решение

Дано

12 учеников — 40 % класса

Найти

число учеников в классе

$$12 : 40 = 0{,}3$$ (ученика) — приходится на 1 %. Число дробное, но это лишь промежуточный шаг.
$0{,}3 \cdot 100 = 30$ (учеников) — это 100 %, весь класс.

Проверка: 40 % от 30 — это $30 : 100 \cdot 40 = 12$ . Верно.

Ответ

30 учеников

Средний Задача 4

В контрольной 80 заданий, Петя решил верно 68. Какой процент заданий он решил верно?

Подсказка

Найдите, какую часть составляет 68 от 80, и переведите её в проценты.

Решение

Дано

всего 80 заданий
решено 68

Найти

сколько это процентов

$$68 : 80 = 0{,}85$$ — такую часть всех заданий решил Петя.
$0{,}85 \cdot 100 = 85$ (%) — перевели в проценты.

Ответ

85 %

Сложный Задача 5

Туристы в первый день прошли 30 % маршрута, во второй — 45 %. Им осталось пройти 15 км. Какова длина всего маршрута?

Подсказка

Весь маршрут — 100 %. Сколько процентов маршрута составляют оставшиеся 15 км?

Решение

Дано

30 % и 45 % маршрута пройдены
осталось 15 км

Найти

длину маршрута

$$30 + 45 = 75$$ (%) — пройдено за два дня.
$$100 - 75 = 25$$ (%) — осталось пройти, это 15 км.
$$15 : 25 = 0{,}6$$ (км) — приходится на 1 %.
$0{,}6 \cdot 100 = 60$ (км) — длина маршрута.

Проверка: 30 % от 60 км — 18 км, 45 % — 27 км, $$60 - 18 - 27 = 15$$ км. Верно.

Ответ

60 км

Сложный Задача 6

Куртка стоила 4000 р. Сначала её цену снизили на 20 %, а через месяц новую цену повысили на 20 %. Сколько стала стоить куртка? Вернулась ли цена к прежней?

Подсказка

Второй раз 20 % считают уже от новой, сниженной цены.

Решение

Дано

цена 4000 р.
снижение на 20 %
затем повышение на 20 %

Найти

итоговую цену

$4000 : 100 \cdot 20 = 800$ (р.) — на столько снизили цену.
$$4000 - 800 = 3200$$ (р.) — цена после снижения.
$3200 : 100 \cdot 20 = 640$ (р.) — на столько повысили цену.
$$3200 + 640 = 3840$$ (р.) — итоговая цена.

Цена не вернулась к 4000 р.: снижали на 20 % от 4000 р., а повышали на 20 % от меньшего числа, 3200 р.

Ответ

3840 р.; нет, цена стала на 160 р. меньше прежней

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте квадрат 10 на 10 клеток и закрасьте 25 клеток: это 25 %, четверть квадрата. Потом возьмите ценник или чек: «Товар стоит 500 р., скидка 20 %. Сколько это рублей?» Пусть ребёнок сначала найдёт 1 % (5 р.), потом 20 % (100 р.). Хорошо работают «круглые» проценты: 50 % — половина, 25 % — четверть, 10 % — десятая часть.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько процентов составляет половина числа? А всё число целиком? 2) 10 % — это 7 конфет. Сколько всего конфет? 3) Цену подняли на 10 %, а потом снизили на 10 %. Вернулась ли она к прежней?

На что обратить внимание. Главная трудность — понять, что принято за 100 %. Просите ребёнка проговаривать: «Всё — это…». И приучайте к прикидке: 30 % от числа не может быть больше самого числа, а людей и предметов в ответе не бывает 4,8.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 2	1.41, 1.42, 1.43, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47, 1.48, 1.49, 1.50, 1.51, 1.52, 1.53, 1.54, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58, 1.59, 1.60, 1.61, 1.62, 1.63, 1.64, 1.65, 1.66, 1.67, 1.68, 1.69, 1.70, 1.71, 1.72, 1.73, 1.74, 1.75, 1.76, 1.77, 1.78, 1.79, 1.80, 1.81, 1.82, 1.83, 1.84, 1.85, 1.86, 1.87, 1.88, 1.89, 1.90, 1.91, 1.92, 1.93, 1.94, 1.95, 1.96