Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

Частное от деления суммы чисел на их количество

Число, которое стоит посередине списка

Полусумму наибольшего и наименьшего из чисел

Какие утверждения верны?

Среднее арифметическое не меньше наименьшего и не больше наибольшего из чисел

Если каждое число увеличить на 3, среднее арифметическое тоже увеличится на 3

Среднее арифметическое всегда совпадает с одним из чисел

Средняя скорость всегда равна среднему арифметическому скоростей

Среднее арифметическое — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Коротко о главном

Среднее арифметическое нескольких чисел — это их сумма, делённая на количество слагаемых. Средняя скорость — весь пройденный путь, делённый на всё время движения.

\text{среднее арифметическое} = (\text{сумма чисел}) : (\text{количество чисел})

Подробное объяснение

Поделить поровну

Три друга собирали грибы: один нашёл 8 грибов, другой 9, третий 4. Дома они решили разделить добычу поровну. Всего грибов $$8 + 9 + 4 = 21$$ , каждому досталось $$21 : 3 = 7$$ . Число 7 и есть среднее арифметическое чисел 8, 9 и 4.

Три столбца высотой 8, 9 и 4 и пунктирная линия на высоте 7. Части столбцов 8 и 9 выше линии (1 и 2) закрывают нехватку 3 у столбца 4. — Если лишнее у больших чисел отдать меньшему, все станут равны среднему, 7.

Можно представить это так: у кого грибов больше, отдают лишнее тому, у кого меньше, пока у всех не станет одинаково. Это «выровненное» значение и называют средним.

Правило

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.

Для чисел 3, 5, 6 и 10: сумма $$3 + 5 + 6 + 10 = 24$$ , чисел четыре, среднее $$24 : 4 = 6$$ .

Полезно помнить два свойства:

среднее арифметическое всегда лежит между наименьшим и наибольшим из чисел (или равно им, если все числа одинаковые);
на координатном луче среднее двух чисел — это точка ровно посередине между ними: среднее чисел 6 и 14 равно 10, и от 10 до 6 столько же, сколько от 10 до 14.

Среднее часто получается дробным, даже если все числа целые. Средняя оценка 4, 5, 5 равна $$14 : 3 = 4{,}666\dots$$ , её округляют: примерно 4,7.

Средняя скорость

Велосипедист ехал 1 ч со скоростью 12 км/ч и 1 ч со скоростью 18 км/ч. Весь путь — $$12 + 18 = 30$$ км, всё время — 2 ч. Если бы он ехал всё время с одной и той же скоростью, она была бы $$30 : 2 = 15$$ км/ч. Такую скорость называют средней скоростью.

Средняя скорость равна частному от деления всего пройденного пути на всё время движения.

Здесь удобно сравнить: среднее арифметическое скоростей 12 и 18 тоже равно 15. Совпадение не случайно — время на каждом участке одинаковое. Если время разное, складывать скорости и делить на два нельзя: дольше длившийся участок «весит» больше. Тогда нужно считать через путь и время.

Так же находят среднюю урожайность (весь урожай делят на всю площадь), среднюю цену, средний расход. Средние значения помогают сравнивать: если средняя температура в одном месяце 18,4 °C, а в другом 20,1 °C, второй месяц был теплее, хотя отдельные дни могли быть какими угодно.

Как решать задачи

Поймите, среднее чего нужно найти: чисел, оценок, скоростей, урожайности.
Если нужно среднее арифметическое чисел — сложите все числа.
Посчитайте, сколько чисел вы сложили. Нули тоже считаются.
Разделите сумму на количество. Если нужно, округлите ответ.
Если нужна средняя скорость — найдите весь путь (сложите пути на всех участках, путь участка = скорость · время) и всё время, затем разделите путь на время.
Если известно среднее, а неизвестно одно из чисел, сначала найдите сумму всех чисел: среднее · количество. Потом вычтите известные числа.
Проверьте: ответ должен лежать между наименьшим и наибольшим числом.

Разобранные примеры

База

Средняя оценка за четверть

Условие

У Маши за четверть по истории оценки 5, 4, 4, 3, 5, 5. Найдите её среднюю оценку и округлите до десятых.

Решение

Сумма оценок: $$5 + 4 + 4 + 3 + 5 + 5 = 26$$ .

Оценок шесть, поэтому средняя оценка $$26 : 6 = 4{,}333\dots$$

Округляем до десятых: 4,3.

Ответ: Примерно 4,3.

Средний

Средняя скорость автобуса

Условие

Автобус ехал 2 ч по шоссе со скоростью 45 км/ч и 1 ч по трассе со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса.

Дано

2 ч со скоростью 45 км/ч
1 ч со скоростью 60 км/ч

Найти

среднюю скорость

Решение

$45 \cdot 2 = 90$ (км) — путь по шоссе.
$60 \cdot 1 = 60$ (км) — путь по трассе.
$$90 + 60 = 150$$ (км) — весь путь.
$$2 + 1 = 3$$ (ч) — всё время.
$$150 : 3 = 50$$ (км/ч) — средняя скорость.

Заметим: $$(45 + 60) : 2 = 52{,}5$$ — это не средняя скорость, потому что со скоростью 45 км/ч автобус ехал дольше. Зато можно сложить скорость каждого часа: $$(45 + 45 + 60) : 3 = 50$$ — получится то же самое.

Ответ: 50 км/ч.

Сложный

Неизвестное число по среднему

Условие

Среднее арифметическое четырёх чисел равно 12,5. Три из них — 10, 14 и 11. Найдите четвёртое число.

Решение

$12{,}5 \cdot 4 = 50$ — сумма всех четырёх чисел.
$$10 + 14 + 11 = 35$$ — сумма трёх известных чисел.
$$50 - 35 = 15$$ — четвёртое число.

Проверка: $$(10 + 14 + 11 + 15) : 4 = 50 : 4 = 12{,}5$$ . Верно.

Ответ: 15.

Типичные ошибки

Делят не на то количество

Почему неверно

Ученик ищет среднее чисел 6, 0, 9 и делит сумму 15 на 2, потому что «ноль ничего не добавляет». Но ноль — тоже число в списке: если ученик за три дня решил 6, 0 и 9 задач, то в среднем он решал $$15 : 3 = 5$$ задач в день, а не 7,5.

Как правильно

Делите на количество всех чисел, которые складывали, включая нули. Пересчитайте их по списку перед делением.

Среднюю скорость считают как среднее двух скоростей

Почему неверно

Туристы шли 1 ч со скоростью 6 км/ч и 3 ч со скоростью 4 км/ч. Ответ $$(6 + 4) : 2 = 5$$ км/ч неверен: со скоростью 4 км/ч они шли втрое дольше, а при таком подсчёте оба участка считаются одинаково важными.

Как правильно

Весь путь $$6 + 12 = 18$$ км, всё время 4 ч, средняя скорость $$18 : 4 = 4{,}5$$ км/ч. Складывать скорости и делить на их количество можно, только если время на каждом участке одинаковое.

Забывают проверить ответ на здравый смысл

Почему неверно

Среднее чисел 3,2; 4,5 и 5,8 получилось у ученика 13,5 — он сложил числа, но забыл разделить на 3. Такой ответ больше самого большого числа, а среднее так не может.

Как правильно

После вычисления проверьте: среднее лежит между наименьшим и наибольшим числом. Здесь $$13{,}5 : 3 = 4{,}5$$ — подходит.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите среднее арифметическое чисел 12, 15, 18 и 23.

Подсказка

Сложите числа и разделите сумму на их количество.

Решение

Сумма чисел: $$12 + 15 + 18 + 23 = 68$$ .

Чисел четыре, поэтому среднее арифметическое равно $$68 : 4 = 17$$ .

Ответ

17

База Задача 2

Масса трёх пакетов с яблоками 3,6 кг, 4,2 кг и 5,1 кг. Найдите среднюю массу пакета.

Подсказка

Средняя масса — это среднее арифметическое масс.

Решение

Дано

массы пакетов 3,6 кг
4,2 кг и 5,1 кг

Найти

среднюю массу пакета

$$3{,}6 + 4{,}2 + 5{,}1 = 12{,}9$$ (кг) — масса всех пакетов.
$$12{,}9 : 3 = 4{,}3$$ (кг) — средняя масса пакета.

Ответ

4,3 кг

Средний Задача 3

Велосипедист ехал 2 ч со скоростью 14 км/ч и 3 ч со скоростью 16,5 км/ч. Найдите его среднюю скорость на всём пути.

Подсказка

Найдите весь путь и всё время движения. Средняя скорость — путь, делённый на время.

Решение

Дано

2 ч со скоростью 14 км/ч
3 ч со скоростью 16,5 км/ч

Найти

среднюю скорость

$14 \cdot 2 = 28$ (км) — путь за первые 2 ч.
$16{,}5 \cdot 3 = 49{,}5$ (км) — путь за следующие 3 ч.
$$28 + 49{,}5 = 77{,}5$$ (км) — весь путь.
$$2 + 3 = 5$$ (ч) — всё время движения.
$$77{,}5 : 5 = 15{,}5$$ (км/ч) — средняя скорость.

Ответ

15,5 км/ч

Средний Задача 4

Среднее арифметическое пяти чисел равно 8,4. Четыре из них — 7; 9; 10 и 6,5. Найдите пятое число.

Подсказка

Зная среднее и количество чисел, найдите их сумму.

Решение

$8{,}4 \cdot 5 = 42$ — сумма всех пяти чисел.
$$7 + 9 + 10 + 6{,}5 = 32{,}5$$ — сумма четырёх известных чисел.
$$42 - 32{,}5 = 9{,}5$$ — пятое число.

Проверка: $$(7 + 9 + 10 + 6{,}5 + 9{,}5) : 5 = 42 : 5 = 8{,}4$$ .

Ответ

9,5

Сложный Задача 5

Средний возраст 11 футболистов команды — 22 года. Когда один игрок ушёл с поля, средний возраст оставшихся 10 игроков стал 21,8 года. Сколько лет ушедшему игроку?

Подсказка

Найдите суммарный возраст команды до и после ухода игрока.

Решение

Дано

11 игроков
средний возраст 22 года; 10 игроков
средний возраст 21,8 года

Найти

возраст ушедшего

$22 \cdot 11 = 242$ (года) — сумма возрастов всех 11 игроков.
$21{,}8 \cdot 10 = 218$ (лет) — сумма возрастов оставшихся 10 игроков.
$$242 - 218 = 24$$ (года) — возраст ушедшего игрока.

Ответ

24 года

Сложный Задача 6

Автомобиль проехал 120 км из города в посёлок со скоростью 60 км/ч, а обратно — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути. Почему ответ не равен 50 км/ч?

Подсказка

Сначала найдите время в каждую сторону.

Решение

Дано

путь в одну сторону 120 км
скорость туда 60 км/ч
обратно 40 км/ч

Найти

среднюю скорость

$$120 : 60 = 2$$ (ч) — время в посёлок.
$$120 : 40 = 3$$ (ч) — время обратно.
$$120 + 120 = 240$$ (км) — весь путь.
$$2 + 3 = 5$$ (ч) — всё время.
$$240 : 5 = 48$$ (км/ч) — средняя скорость.

Число 50 км/ч — это среднее арифметическое двух скоростей. Оно подошло бы, если бы машина ехала с каждой скоростью одинаковое время. Но с меньшей скоростью она ехала дольше (3 ч против 2 ч), поэтому средняя скорость ближе к 40 км/ч.

Ответ

48 км/ч; со скоростью 40 км/ч машина ехала дольше, чем со скоростью 60 км/ч

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите три стопки монет или печенья разной высоты, например 2, 5 и 8 штук. Попросите ребёнка переложить предметы так, чтобы стопки стали одинаковыми, — получится по 5. Затем покажите, что тот же ответ даёт счёт: $$(2 + 5 + 8) : 3 = 5$$ . Для средней скорости подойдёт поездка на дачу: сколько километров проехали и сколько часов ехали.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как найти среднее арифметическое пяти чисел? 2) Может ли среднее оценок 3, 4 и 5 быть равно 5,5? Почему? 3) Машина ехала час со скоростью 50 км/ч и час со скоростью 70 км/ч. Какая средняя скорость — и изменится ли ответ, если со скоростью 50 км/ч она ехала два часа?

На что обратить внимание. Дети часто делят на неправильное количество (забывают нули) и считают среднюю скорость как полусумму скоростей. Попросите ребёнка всегда прикидывать: ответ должен быть между самым маленьким и самым большим числом.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 1	1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22, 1.23, 1.24, 1.25, 1.26, 1.27, 1.28, 1.29, 1.30, 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35, 1.36, 1.37, 1.38, 1.39, 1.40