Как найти неизвестное вычитаемое?

Из уменьшаемого вычесть разность

Сложить уменьшаемое и разность

Из разности вычесть уменьшаемое

Сложить вычитаемое и разность

Уравнение — 5 класс, математика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Числовые и буквенные выражения

Коротко о главном

Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой. Корень уравнения — такое значение буквы, при котором равенство становится верным. Неизвестный компонент находят по правилам:

x + a = b \Rightarrow x = b - a, \qquad x - a = b \Rightarrow x = b + a, \qquad a - x = b \Rightarrow x = a - b

Подробное объяснение

Представьте весы. На левой чаше коробка неизвестной массы и гиря 5 кг, на правой — гиря 12 кг. Весы в равновесии. Сколько весит коробка? Можно рассуждать словами, а можно записать коротко: обозначим массу коробки буквой $$x$$ , тогда $$x + 5 = 12$$ . Такая запись и есть уравнение.

Весы в равновесии. На левой чаше коробка массой x кг и гиря 5 кг, на правой — гиря 12 кг. Над весами записано уравнение x + 5 = 12. — Равновесие весов записывают как равенство — получается уравнение.

Равенство, уравнение, корень

Два выражения, соединённые знаком «=», образуют равенство. Оно бывает верным ( $$7 + 5 = 12$$ ) и неверным ( $$7 + 5 = 13$$ ).

Если в равенстве есть буква, его верность зависит от того, какое число подставить вместо буквы. Равенство $$x + 5 = 12$$ неверно при $$x = 3$$ и верно при $$x = 7$$ .

Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.
Корень уравнения — значение буквы, при котором получается верное числовое равенство. У уравнения $$x + 5 = 12$$ корень 7.
Решить уравнение — найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Перевод задачи с обычного языка на язык чисел и букв называют математической моделью. Составили уравнение — построили модель; решили его — получили ответ на вопрос задачи.

Часть и целое

Все правила этой темы вытекают из одной картинки: целое состоит из двух частей.

Полоса-целое разделена на две части. Целое — это сумма или уменьшаемое, части — слагаемые или вычитаемое и разность. Неизвестную часть находят вычитанием, целое — сложением. — Сумма и уменьшаемое — целое, остальные компоненты — его части.

В сложении целое — это сумма, части — слагаемые. В вычитании целое — уменьшаемое, а части — вычитаемое и разность. Отсюда:

Неизвестное слагаемое (неизвестная часть): из суммы вычесть известное слагаемое. $$x + 14 = 30$$ , $$x = 30 - 14 = 16$$ .
Неизвестное уменьшаемое (неизвестное целое): сложить вычитаемое и разность. $$y - 9 = 20$$ , $$y = 20 + 9 = 29$$ .
Неизвестное вычитаемое (неизвестная часть): из уменьшаемого вычесть разность. $$40 - z = 15$$ , $$z = 40 - 15 = 25$$ .

Запоминать правила не обязательно: достаточно спросить себя, что неизвестно — целое или часть. Целое находят сложением, часть — вычитанием.

Проверка

Найденное число подставляют в уравнение вместо буквы. Если равенство верное, корень найден правильно. Проверка занимает полминуты и ловит почти все ошибки.

Уравнения со скобками

В уравнении $$(x + 8) - 5 = 20$$ сначала смотрят на действие, которое выполняется последним, — вычитание. Скобку $$(x + 8)$$ считают одним неизвестным уменьшаемым и находят её целиком: $$x + 8 = 25$$ . Получилось простое уравнение, $$x = 17$$ .

Иногда удобнее сначала упростить левую часть по свойствам сложения и вычитания: $$(x + 8) - 5 = x + 3$$ , и сразу $$x + 3 = 20$$ , $$x = 17$$ .

Как решать задачи

Обозначьте буквой то, что нужно найти.
Запишите, что с этим числом происходит в задаче, и составьте равенство — уравнение.
Определите, каким компонентом является неизвестное (слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое), и найдите его.
Сделайте проверку подстановкой.
Ответьте на вопрос задачи с единицами измерения.

Разобранные примеры

База

Простое уравнение с проверкой

Условие

Решите уравнение $$x + 237 = 500$$ .

Решение

$$x$$ — неизвестное слагаемое. Из суммы вычитаем известное слагаемое:

$$x = 500 - 237 = 263$$ .

Проверка: $$263 + 237 = 500$$ — верно.

Ответ: x = 263

Средний

Задача на уравнение

Условие

В школьной библиотеке было несколько новых книг. Ученикам выдали 48 книг, и на полке осталось 76. Сколько новых книг было в библиотеке?

Решение

Пусть было $$x$$ книг. После выдачи 48 книг осталось $$x - 48$$ , и это 76: $$x - 48 = 76$$ .

$$x$$ — неизвестное уменьшаемое: $$x = 76 + 48 = 124$$ .

Проверка: $$124 - 48 = 76$$ — верно.

Ответ: 124 книги

Сложный

Уравнение со скобками

Условие

Решите уравнение $$150 - (y - 30) = 95$$ .

Решение

Последнее действие в левой части — вычитание, скобка $$(y - 30)$$ — вычитаемое. Находим её: $$y - 30 = 150 - 95 = 55$$ .

Теперь $$y$$ — уменьшаемое: $$y = 55 + 30 = 85$$ .

Проверка: $$150 - (85 - 30) = 150 - 55 = 95$$ — верно.

Ответ: y = 85

Типичные ошибки

Путают, когда складывать, а когда вычитать

Почему неверно

В уравнении $$x - 12 = 30$$ ученик пишет $$x = 30 - 12 = 18$$ . Проверка: $$18 - 12 = 6$$ , а не 30. Здесь $$x$$ — уменьшаемое, то есть целое, и оно больше частей.

Как правильно

Спросите себя: неизвестное — целое или часть? Уменьшаемое — целое, его находят сложением: $$x = 30 + 12 = 42$$ . Всегда делайте проверку.

В уравнении $a - x = b$ вычитают в обратном порядке

Почему неверно

В уравнении $$50 - x = 20$$ пишут $$x = 20 - 50$$ или $$x = 50 + 20 = 70$$ . Но $$50 - 70$$ не равно 20.

Как правильно

Вычитаемое — это часть уменьшаемого: $$x = 50 - 20 = 30$$ . Проверка: $$50 - 30 = 20$$ .

Раскрывают скобку «на глаз»

Почему неверно

В уравнении $$100 - (x + 20) = 30$$ пишут $$100 - x + 20 = 30$$ — знак перед 20 потерян, и ответ получается неверным.

Как правильно

Скобку находят целиком как один компонент: $$x + 20 = 100 - 30 = 70$$ , затем $$x = 50$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Решите уравнение $$x + 38 = 95$$ и сделайте проверку.

Подсказка

Неизвестно слагаемое. Из суммы вычтите известное слагаемое.

Решение

$$x = 95 - 38 = 57$$ .

Проверка: $$57 + 38 = 95$$ — верно.

Ответ

x = 57

База Задача 2

Решите уравнение $$120 - y = 45$$ и сделайте проверку.

Подсказка

Неизвестно вычитаемое. Из уменьшаемого вычтите разность.

Решение

$$y = 120 - 45 = 75$$ .

Проверка: $$120 - 75 = 45$$ — верно.

Ответ

y = 75

Средний Задача 3

Решите уравнение $$(a - 17) + 30 = 81$$ .

Подсказка

Сначала найдите неизвестное слагаемое $$a - 17$$ целиком.

Решение

Выражение $$a - 17$$ — неизвестное слагаемое: $$a - 17 = 81 - 30 = 51$$ .

Теперь $$a$$ — неизвестное уменьшаемое: $$a = 51 + 17 = 68$$ .

Проверка: $$(68 - 17) + 30 = 51 + 30 = 81$$ — верно.

Ответ

a = 68

Средний Задача 4

В коробке лежали карандаши. Из неё взяли 14 карандашей, и осталось 22. Сколько карандашей было в коробке? Решите с помощью уравнения.

Подсказка

Обозначьте буквой число карандашей, которое было сначала.

Решение

Пусть в коробке было $$x$$ карандашей. Тогда $$x - 14 = 22$$ .

$$x$$ — уменьшаемое: $$x = 22 + 14 = 36$$ .

Проверка: $$36 - 14 = 22$$ — верно.

Ответ

36 карандашей

Сложный Задача 5

Решите уравнение $$200 - (m + 45) = 70$$ и сделайте проверку.

Подсказка

Скобка $$(m + 45)$$ здесь — вычитаемое.

Решение

Выражение $$m + 45$$ — неизвестное вычитаемое: $$m + 45 = 200 - 70 = 130$$ .

Теперь $$m$$ — неизвестное слагаемое: $$m = 130 - 45 = 85$$ .

Проверка: $$200 - (85 + 45) = 200 - 130 = 70$$ — верно.

Ответ

m = 85

Сложный Задача 6

Есть ли среди натуральных чисел корень уравнения $$30 - x = 45$$ ? Объясните.

Решение

$$x$$ — вычитаемое, поэтому $$x = 30 - 45$$ . Но из 30 нельзя вычесть 45: вычитаемое не может быть больше уменьшаемого. Ни при каком натуральном $$x$$ разность $$30 - x$$ не станет больше 30, а 45 больше 30.

Ответ

Нет, у уравнения нет корней среди натуральных чисел

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол 12 конфет, накройте часть из них ладонью и покажите ребёнку, что снаружи осталось 5. «Сколько под ладонью?» Ребёнок ответит 7 — и это решение уравнения $$x + 5 = 12$$ . Затем запишите то же самое буквами и покажите, что целое (12) минус видимая часть (5) даёт скрытую часть.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем уравнение отличается от выражения? 2) Как проверить, правильно ли найден корень? 3) В уравнении $$x - 7 = 10$$ неизвестное — целое или часть? Как его найти?

На что обратить внимание. Требуйте проверку подстановкой после каждого уравнения — это главная привычка темы. Если ребёнок путает правила, не заставляйте зубрить три формулировки: пусть рисует отрезок «целое = часть + часть» и отмечает, что неизвестно.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 11	2.198, 2.199, 2.200, 2.201, 2.202, 2.203, 2.204, 2.205, 2.206, 2.207, 2.208, 2.209, 2.210, 2.211, 2.212, 2.213, 2.214, 2.215, 2.216, 2.217, 2.218, 2.219, 2.220, 2.221, 2.222, 2.223, 2.224, 2.225, 2.226, 2.227, 2.228, 2.229, 2.230, 2.231, 2.232, 2.233, 2.234, 2.235