Какое свойство умножения использовано: (7 · 25) · 4 = 7 · (25 · 4)?

Никакое, равенство неверно

Умножение натуральных чисел и его свойства

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение натуральных чисел и его свойства

Коротко о главном

Умножить число $$a$$ на натуральное число $$b$$ — значит сложить $$b$$ одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $$a$$ . Числа $$a$$ и $$b$$ — множители, результат — произведение. От перестановки и группировки множителей произведение не меняется.

a \cdot b = b \cdot a, \qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Подробное объяснение

В классе 5 парт в ряду и 3 ряда. Сколько парт? Можно сложить: $$5 + 5 + 5 = 15$$ . Но если рядов 30, складывать долго. Для суммы одинаковых слагаемых есть короткая запись — умножение: $5 \cdot 3 = 15$ .

Что такое умножение

\underbrace{a + a + \ldots + a}_{b \text{ слагаемых}} = a \cdot b

Здесь $$a$$ — повторяющееся слагаемое, $$b$$ — сколько раз оно повторяется. Числа $$a$$ и $$b$$ называют множителями. Само выражение $a \cdot b$ и его значение называют произведением.

Читают произведение так: «произведение пяти и трёх» — оба множителя в родительном падеже. Запись $6 \cdot (x + 2)$ читают «произведение шести и суммы икс и двух».

Умножение на 1 и на 0

Сумма $$n$$ единиц равна $$n$$ , поэтому $1 \cdot n = n$ . Сумма $$n$$ нулей равна нулю, поэтому $0 \cdot n = 0$ . Для умножения на 1 и на 0 договорились так же:

m \cdot 1 = m, \qquad m \cdot 0 = 0.

Главное следствие: если хотя бы один множитель равен нулю, всё произведение равно нулю.

Переместительное свойство

От перестановки множителей произведение не меняется: $a \cdot b = b \cdot a$ .

Посмотрите на прямоугольник из клеток. Если считать по строкам, получится $5 \cdot 3$ , если по столбцам — $3 \cdot 5$ . Клеток одинаково — 15.

Два одинаковых прямоугольника из 3 строк по 5 клеток. Слева клетки считают по строкам, 5 · 3 = 15, справа по столбцам, 3 · 5 = 15. Результат одинаковый. — От перестановки множителей произведение не меняется, 5 · 3 = 3 · 5.

Сочетательное свойство

Чтобы умножить произведение двух чисел на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ .

Пример — ящик с кубиками в два слоя, в каждом слое 4 ряда по 3 кубика. Можно найти кубики в одном слое ( $3 \cdot 4 = 12$ ) и умножить на число слоёв: $12 \cdot 2 = 24$ . А можно разрезать ящик по-другому. Кубики те же — 24.

Ящик кубиков 3 × 4 × 2 разрезан двумя способами. Слева два слоя по 3 · 4 = 12, всего 24. Справа три среза по 4 · 2 = 8, всего 24. — Группировать множители можно по-разному, (3 · 4) · 2 = 3 · (4 · 2).

Вместе два свойства дают правило: в произведении нескольких чисел множители можно переставлять и группировать как угодно. Это помогает считать в уме: $25 \cdot 37 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700$ . Полезные пары: $2 \cdot 5 = 10$ , $4 \cdot 25 = 100$ , $8 \cdot 125 = 1000$ .

Как записывают произведение с буквами

Знак умножения не пишут перед буквой и перед скобкой: вместо $7 \cdot a$ пишут $$7a$$ , вместо $a \cdot b$ — $$ab$$ , вместо $3 \cdot (x + y)$ — $$3(x + y)$$ . Между двумя числами знак нужен всегда: $3 \cdot 4$ , а не $$34$$ .

Если множитель — сумма или разность, его обязательно берут в скобки: произведение суммы $$a + b$$ и числа 5 — это $(a + b) \cdot 5$ , а не $a + b \cdot 5$ .

Умножение многозначных чисел

Многозначные числа умножают столбиком: умножают первый множитель на каждую цифру второго, записывают неполные произведения со сдвигом и складывают. Если множители оканчиваются нулями, нули отбрасывают, умножают остальное и приписывают к ответу все отброшенные нули. Например, для $120 \cdot 3500$ находим $12 \cdot 35 = 420$ ; нулей было $$1 + 2 = 3$$ , поэтому $120 \cdot 3500 = 420\,000$ .

Как решать задачи

Найдите в условии «по … в каждом» — это признак умножения: число в одной группе умножают на число групп.
Если групп несколько уровней (коробки → пачки → штуки), перемножьте все числа; порядок можно выбрать удобный.
Перед вычислением посмотрите, нет ли пар множителей, дающих 10, 100, 1000.
Если один множитель — ноль, ответ сразу 0.
Проверьте, похож ли ответ на правду: произведение натуральных чисел (без единицы) больше каждого множителя.

Разобранные примеры

База

Сумма одинаковых слагаемых

Условие

Замените сумму произведением и вычислите: $$125 + 125 + 125 + 125 + 125 + 125 + 125 + 125$$ .

Решение

Слагаемое 125 повторяется 8 раз, поэтому сумма равна $125 \cdot 8 = 1000$ .

Ответ: 125 · 8 = 1000

Средний

Удобный порядок множителей

Условие

Вычислите устно: $5 \cdot 43 \cdot 2 \cdot 50 \cdot 2$ .

Решение

Переставим множители и сгруппируем пары, которые дают круглые числа:

$(5 \cdot 2) \cdot (50 \cdot 2) \cdot 43 = 10 \cdot 100 \cdot 43 = 43\,000$ .

Ответ: 43 000

Сложный

Задача на три уровня группировки

Условие

На складе 15 стеллажей. На каждом стеллаже 8 полок, на каждой полке 25 коробок с карандашами. Сколько коробок на складе? Решите двумя способами.

Дано

15 стеллажей
8 полок на стеллаже
25 коробок на полке

Найти

число коробок

Решение

1-й способ: полок всего $8 \cdot 15 = 120$ , коробок $25 \cdot 120 = 3000$ .

2-й способ: коробок на одном стеллаже $25 \cdot 8 = 200$ , на всех $200 \cdot 15 = 3000$ .

Ответы совпали — это сочетательное свойство: $(15 \cdot 8) \cdot 25 = 15 \cdot (8 \cdot 25)$ .

Ответ: 3000 коробок

Типичные ошибки

Считают, что умножение на 0 не меняет число

Почему неверно

Путают с прибавлением нуля: $$7 + 0 = 7$$ , но $7 \cdot 0$ — это «семь, взятое ноль раз», то есть ничего.

Как правильно

$$m + 0 = m$$ , но $m \cdot 0 = 0$ . Не меняет число умножение на единицу: $m \cdot 1 = m$ .

Забывают скобки вокруг суммы-множителя

Почему неверно

Произведение суммы $$a + 3$$ и числа 4 записывают как $a + 3 \cdot 4$ . Но умножение выполняется раньше сложения, и получается $$a + 12$$ — совсем другое выражение.

Как правильно

Сумму или разность, которая служит множителем, заключают в скобки: $(a + 3) \cdot 4$ или $$4(a + 3)$$ .

Теряют нули при умножении круглых чисел

Почему неверно

В примере $40 \cdot 250$ отбрасывают нули, умножают $4 \cdot 25 = 100$ и приписывают только один нуль: 1000.

Как правильно

Нулей приписывают столько, сколько их всего на концах обоих множителей: один у 40 и один у 250 — два. К 100 приписываем два нуля: $40 \cdot 250 = 10\,000$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Замените сумму произведением и найдите значение $$36 + 36 + 36 + 36 + 36$$ .

Подсказка

Сосчитайте, сколько раз повторяется слагаемое.

Решение

Слагаемое 36 повторяется 5 раз, поэтому сумма равна $36 \cdot 5 = 180$ .

Ответ

36 · 5 = 180

База Задача 2

В коробке 6 рядов пирожных, по 4 пирожных в ряду. Сколько пирожных в 3 таких коробках?

Подсказка

Сначала найдите, сколько пирожных в одной коробке.

Решение

В одной коробке: $4 \cdot 6 = 24$ пирожных.
В трёх коробках: $24 \cdot 3 = 72$ пирожных.

Ответ

72 пирожных

Средний Задача 3

Вычислите удобным способом $25 \cdot 17 \cdot 4 \cdot 3$ .

Подсказка

Какие два множителя дают круглое число?

Решение

Переставим и сгруппируем множители: $(25 \cdot 4) \cdot (17 \cdot 3) = 100 \cdot 51 = 5100$ .

Ответ

5100

Средний Задача 4

Найдите значение выражения $$8x + 120$$ при $$x = 15$$ и при $$x = 0$$ .

Подсказка

Запись $$8x$$ означает $8 \cdot x$ .

Решение

При $$x = 15$$ получаем $8 \cdot 15 + 120 = 120 + 120 = 240$ .

При $$x = 0$$ получаем $8 \cdot 0 + 120 = 0 + 120 = 120$ .

Ответ

240 и 120

Сложный Задача 5

В кафе 3 вида супа, 4 вторых блюда и 2 напитка. Сколько разных обедов из супа, второго и напитка можно составить?

Подсказка

К каждому супу можно взять любое второе, а к каждой такой паре — любой напиток.

Решение

Пар «суп + второе»: $3 \cdot 4 = 12$ . К каждой паре — любой из 2 напитков: $12 \cdot 2 = 24$ обеда.

Ответ

24 обеда

Сложный Задача 6

Не вычисляя, сравните произведения $4\,008 \cdot 125$ и $4\,000 \cdot 126$ . Потом проверьте вычислением.

Подсказка

Представьте $$4008 = 4000 + 8$$ и $$126 = 125 + 1$$ — сколько «лишнего» в каждом произведении?

Решение

$4008 \cdot 125$ — это $4000 \cdot 125$ и ещё $8 \cdot 125 = 1000$ .

$4000 \cdot 126$ — это $4000 \cdot 125$ и ещё $4000 \cdot 1 = 4000$ .

Добавка во втором больше, значит, $4000 \cdot 126 > 4008 \cdot 125$ . Проверка: $501\,000 < 504\,000$ .

Ответ

4000 · 126 больше (504 000 > 501 000)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Выложите на стол пуговицы или монеты прямоугольником, например 3 ряда по 6. Пусть ребёнок посчитает по рядам ( $$6 + 6 + 6$$ ), а затем по столбикам ( $$3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3$$ ). Получится одно и то же — это и есть переместительное свойство. Потом сложите два таких прямоугольника стопкой (два слоя) — и покажите, что общее число можно найти разными группировками.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как записать сумму $$9 + 9 + 9 + 9$$ короче? 2) Чему равно $2 \cdot 3 \cdot 0 \cdot 1000$ и почему не надо считать? 3) Как быстро умножить $4 \cdot 17 \cdot 25$ ?

На что обратить внимание. Ребёнок должен понимать умножение как сумму одинаковых слагаемых, а не только знать таблицу. Следите, чтобы он не путал $m \cdot 0 = 0$ и $$m + 0 = m$$ , ставил скобки вокруг суммы-множителя и не терял нули при умножении круглых чисел.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 12	3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24, 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32, 3.33, 3.34, 3.35, 3.36, 3.37, 3.38, 3.39, 3.40, 3.41, 3.42, 3.43, 3.44, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50, 3.51, 3.52, 3.53, 3.54, 3.55, 3.56, 3.57, 3.58, 3.59, 3.60, 3.61, 3.62, 3.63, 3.64, 3.65, 3.66, 3.67, 3.68