Разность m - n отрицательна. Что можно сказать о числах m и n?

Оба числа отрицательны

Вычитание положительных и отрицательных чисел

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сложение чисел с разными знаками

Коротко о главном

Чтобы вычесть из одного числа другое, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Так вычитание любых чисел сводится к сложению, которое мы уже умеем выполнять.

\[m - n = m + (-n)\]

Подробное объяснение

Зачем вычитать отрицательные числа

Вечером на улице было −3 °C, а утром стало 5 °C. На сколько градусов потеплело? Изменение температуры — это число, которое нужно прибавить к прежнему значению, чтобы получить новое: $$-3 + x = 5$$ . По термометру видно: от −3 до 0 — три деления, от 0 до 5 — ещё пять, всего $$x = 8$$ . С другой стороны, неизвестное слагаемое находят вычитанием: $$x = 5 - (-3)$$ . Значит, $$5 - (-3) = 8$$ , то есть столько же, сколько $$5 + 3$$ .

Правило вычитания

Смысл вычитания остаётся тем же, что и в 5 классе: по сумме и одному слагаемому найти другое слагаемое. Найти $$14 - 9$$ — значит найти такое число, которое вместе с 9 даёт 14. Но то же число получится, если к 14 прибавить $$-9$$ , ведь $$14 + (-9) = 5$$ .

Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

\[m - n = m + (-n).\]

Правило годится для любых чисел — положительных, отрицательных, нуля:

$$3 - 9 = 3 + (-9) = -6$$ — из меньшего числа теперь тоже можно вычесть большее;
$$-10 - 4 = -10 + (-4) = -14$$ ;
$$-2 - (-7) = -2 + 7 = 5$$ ;
$$0 - 6 = 0 + (-6) = -6$$ .

Каждый раз меняются два знака: знак действия «−» становится «+», а вычитаемое заменяется противоположным числом. Уменьшаемое не меняется. Дальше работают правила сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками.

Разность можно проверить сложением: разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому. Например, $$5 + (-7) = -2$$ , значит, $$-2 - (-7) = 5$$ найдено верно.

Алгебраическая сумма

Раз любую разность можно заменить суммой, выражение, в котором есть только сложение и вычитание, — это тоже сумма. Её называют алгебраической суммой. Например,

\[-9 + 4 - 7 = -9 + 4 + (-7),\]

а её слагаемые — числа $$-9$$ , $$4$$ и $$-7$$ . Знак перед числом относится к нему самому.

Значение алгебраической суммы удобно находить так: сложить отдельно все положительные слагаемые, отдельно все отрицательные и затем сложить два результата. Переставлять и группировать слагаемые можно — это свойства сложения.

Длина отрезка на координатной прямой

Пусть даны точки $$N(-4)$$ и $$M(3)$$ . Чтобы попасть из $$N$$ в $$M$$ , точку нужно сдвинуть вправо на столько единичных отрезков, какова длина $$NM$$ : $$-4 + d = 3$$ . Значит, $$d = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7$$ .

Координатная прямая от −6 до 5. Отрезок NM от точки N(−4) до точки M(3) выделен синим. Скобки сверху — 4 единицы от N до начала отсчёта O, 3 единицы от O до M и 7 единиц на весь отрезок. — Длина отрезка NM равна 3 − (−4) = 3 + 4 = 7 — из координаты правого конца вычитают координату левого.

Чтобы найти длину отрезка по координатам его концов, надо из координаты правого конца вычесть координату левого. Длина всегда положительна; если получилось отрицательное число, концы перепутаны.

Как решать задачи

Найдите в выражении все знаки вычитания.
Каждое вычитание замените сложением, а вычитаемое — противоположным числом. Уменьшаемое не трогайте.
Если слагаемых много, сложите отдельно положительные и отдельно отрицательные.
Сложите два результата по правилу сложения чисел с разными знаками.
Для длины отрезка определите, какой конец правее (у него координата больше), и вычтите из его координаты координату левого конца.
Проверьте разность сложением: разность плюс вычитаемое должна дать уменьшаемое.

Разобранные примеры

База

Две разности

Условие

Найдите разности $$7 - 12$$ и $$-4 - (-9)$$ .

Решение

$$7 - 12 = 7 + (-12) = -5$$ .
$$-4 - (-9) = -4 + 9 = 5$$ .

Проверка: $$-5 + 12 = 7$$ и $$5 + (-9) = -4$$ . Верно.

Ответ:

\(-5\)

;

\(5\)

Средний

Алгебраическая сумма

Условие

Найдите значение выражения $$-15 + 8 - 23 - (-12) + 4$$ .

Решение

Запишем выражение как сумму:

\[-15 + 8 + (-23) + 12 + 4.\]

Положительные слагаемые: $$8 + 12 + 4 = 24$$ .
Отрицательные слагаемые: $$-15 + (-23) = -38$$ .
$$24 + (-38) = -14$$ .

Ответ:

\(-14\)

Сложный

Длина отрезка с дробными координатами

Условие

Найдите длину отрезка $$AB$$ , если $A\left(-2\dfrac{1}{3}\right)$ и $B\left(1\dfrac{3}{4}\right)$ .

Решение

Точка $$B$$ лежит правее, её координата больше. Из координаты правого конца вычитаем координату левого:

AB = 1\dfrac{3}{4} - \left(-2\dfrac{1}{3}\right) = 1\dfrac{3}{4} + 2\dfrac{1}{3} = 1\dfrac{9}{12} + 2\dfrac{4}{12} = 3\dfrac{13}{12} = 4\dfrac{1}{12}.

Проверка: $-2\dfrac{1}{3} + 4\dfrac{1}{12} = -2\dfrac{4}{12} + 4\dfrac{1}{12} = 1\dfrac{9}{12} = 1\dfrac{3}{4}$ . Верно.

Ответ:

4\dfrac{1}{12}

единичного отрезка

Типичные ошибки

Меняют знак действия, но не меняют вычитаемое

Почему неверно

Ученик пишет $$-4 - (-9) = -4 + (-9) = -13$$ . Минус между числами он заменил плюсом, а вычитаемое оставил прежним. Получилось сложение, а не вычитание. Проверка это показывает: $$-13 + (-9) = -22$$ , а не $$-4$$ .

Как правильно

Меняются сразу два знака: действие и знак вычитаемого. $$-4 - (-9) = -4 + 9 = 5$$ .

Вычитают из большего числа меньшее и теряют знак

Почему неверно

По привычке из 5 класса ученик считает $$3 - 9 = 6$$ : «из трёх девять не вычесть, вычтем из девяти три». Но $$6 + 9 = 15$$ , а не 3. Если от трёх отнять девять, мы окажемся левее нуля.

Как правильно

$$3 - 9 = 3 + (-9) = -6$$ . Если вычитаемое больше уменьшаемого, разность отрицательна.

Вычитают из координаты левого конца координату правого

Почему неверно

Для точек $$A(-3)$$ и $$B(5)$$ ученик считает $$AB = -3 - 5 = -8$$ . Длина отрезка не может быть отрицательной.

Как правильно

Правый конец — $$B(5)$$ , поэтому $$AB = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите разность $$-8 - 5$$ .

Подсказка

Замените вычитание числа 5 прибавлением противоположного числа $$-5$$ .

Решение

Вычесть 5 — значит прибавить $$-5$$ :

$$-8 - 5 = -8 + (-5) = -13$$ .

Проверка: $$-13 + 5 = -8$$ . Верно.

Ответ

−13

База Задача 2

Найдите разность $$-6{,}5 - (-9{,}2)$$ .

Подсказка

Число, противоположное $$-9{,}2$$ , — это $$9{,}2$$ .

Решение

Вычесть $$-9{,}2$$ — значит прибавить $$9{,}2$$ :

$$-6{,}5 - (-9{,}2) = -6{,}5 + 9{,}2 = 2{,}7$$ .

Проверка: $$2{,}7 + (-9{,}2) = -6{,}5$$ . Верно.

Ответ

2,7

Средний Задача 3

Ночью термометр показывал −7,5 °C, а днём 4,3 °C. На сколько градусов изменилась температура?

Подсказка

Изменение — это разность «стало минус было».

Решение

Дано

было −7,5 °C
стало 4,3 °C

Найти

изменение температуры

Изменение равно разности нового и прежнего значения:

$$4{,}3 - (-7{,}5) = 4{,}3 + 7{,}5 = 11{,}8$$ (°C).

Изменение положительное — потеплело. Проверка: $$-7{,}5 + 11{,}8 = 4{,}3$$ . Верно.

Ответ

Повысилась на 11,8 °C

Средний Задача 4

Найдите значение алгебраической суммы $$-3{,}2 + 7{,}5 - 4{,}8 - (-2{,}5) - 6$$ .

Подсказка

Запишите выражение как сумму, а потом сложите отдельно положительные и отдельно отрицательные слагаемые.

Решение

Заменим вычитание сложением:

\[-3{,}2 + 7{,}5 + (-4{,}8) + 2{,}5 + (-6).\]

Положительные слагаемые: $$7{,}5 + 2{,}5 = 10$$ .
Отрицательные слагаемые: $$-3{,}2 + (-4{,}8) + (-6) = -14$$ .
$$10 + (-14) = -4$$ .

Ответ

−4

Сложный Задача 5

Найдите значение выражения $-2\dfrac{1}{4} - \left(-3\dfrac{5}{6}\right) - 1\dfrac{2}{3}$ .

Подсказка

Запишите выражение как алгебраическую сумму и приведите дробные части к знаменателю 12.

Решение

Заменим вычитание сложением:

-2\dfrac{1}{4} + 3\dfrac{5}{6} + \left(-1\dfrac{2}{3}\right).

Отрицательные слагаемые: $-\left(2\dfrac{3}{12} + 1\dfrac{8}{12}\right) = -3\dfrac{11}{12}$ .
Положительное слагаемое одно: $3\dfrac{5}{6} = 3\dfrac{10}{12}$ .
$3\dfrac{10}{12} + \left(-3\dfrac{11}{12}\right)$ — модуль отрицательного слагаемого больше, поэтому сумма отрицательна: $3\dfrac{11}{12} - 3\dfrac{10}{12} = \dfrac{1}{12}$ , ответ $-\dfrac{1}{12}$ .

Ответ

-\dfrac{1}{12}

Сложный Задача 6

На координатной прямой отмечена точка $$A(-4{,}6)$$ . Найдите координаты точек, которые удалены от точки $$A$$ на 7 единичных отрезков.

Подсказка

Таких точек две — одна левее $$A$$ , другая правее.

Решение

Дано

$$A(-4{,}6)$$
расстояние 7

Найти

координаты точек

Точка правее $$A$$ : $$-4{,}6 + 7 = 2{,}4$$ .
Точка левее $$A$$ : $$-4{,}6 - 7 = -4{,}6 + (-7) = -11{,}6$$ .

Проверка длинами отрезков (правая координата минус левая): $$2{,}4 - (-4{,}6) = 7$$ и $$-4{,}6 - (-11{,}6) = 7$$ . Верно.

Ответ

\(-11{,}6\)

и

\(2{,}4\)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте вертикальный термометр от −10 до 10. Спросите: «Было −3 °C, стало 5 °C. На сколько потеплело?» Пусть ребёнок посчитает деления пальцем: 3 до нуля и ещё 5 — всего 8. Теперь запишите это вычитанием: $$5 - (-3) = 8$$ — и покажите, что это то же, что $$5 + 3$$ . Затем наоборот: «Было 2 °C, стало −4 °C» — $$-4 - 2 = -4 + (-2) = -6$$ , похолодало на 6 градусов.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как заменить разность $$m - n$$ суммой? 2) Чему равна разность $$-7 - (-7)$$ ? 3) Найдите длину отрезка с концами в точках $$-5$$ и $$2$$ .

На что обратить внимание. Главное — менять два знака сразу: знак действия и знак вычитаемого. Просите ребёнка сначала переписать разность суммой и только потом считать, а затем проверять ответ сложением. В задачах на длину отрезка пусть сначала скажет, какой конец правее.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 32	4.227, 4.228, 4.229, 4.230, 4.231, 4.232, 4.233, 4.234, 4.235, 4.236, 4.237, 4.238, 4.239, 4.240, 4.241, 4.242, 4.243, 4.244, 4.245, 4.246, 4.247, 4.248, 4.249, 4.250, 4.251, 4.252, 4.253, 4.254, 4.255, 4.256, 4.257, 4.258, 4.259, 4.260, 4.261, 4.262, 4.263, 4.264, 4.265