Как найти число, если известно значение его дроби?

Разделить значение на дробь

Умножить значение на дробь

Разделить дробь на значение

Прибавить дробь к значению

В каких задачах ответ находят делением на дробь?

Найти массу, \dfrac{2}{3} которой равны 18 кг

15 % пути — это 6 км. Найти весь путь

Найти \dfrac{2}{3} от 18 кг

Нахождение числа по его дроби — 6 класс, математика

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Если известно, чему равна некоторая дробь числа, а само число неизвестно, это значение делят на дробь. Дробь может быть обыкновенной, десятичной, смешанным числом или процентами.

\text{число} = \text{значение дроби} : \text{дробь}

Подробное объяснение

Целое по его части

Маша прочитала 36 страниц, и это $\dfrac{3}{5}$ книги. Сколько страниц во всей книге?

Рассуждаем по частям. Книгу мысленно делим на 5 равных частей, Маша прочитала 3 из них. Значит, одна часть — это $$36 : 3 = 12$$ страниц, а вся книга — $12 \cdot 5 = 60$ страниц.

Полоска — вся книга — разделена на 5 равных частей по 12 страниц, 3 части закрашены. Над ними подпись «3/5 книги = 36 страниц», под полоской — «вся книга = 12 · 5 = 60 страниц». — 36 страниц делят на 3 части и получают одну пятую книги, затем умножают на 5. Короче — разделить 36 на дробь 3/5.

Те же два действия — разделить на 3 и умножить на 5 — это умножение на $\dfrac{5}{3}$ , то есть деление на $\dfrac{3}{5}$ :

36 : \dfrac{3}{5} = 36 \cdot \dfrac{5}{3} = 60.

Правило

Чтобы найти число по значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Здесь «число» — это целое: вся книга, весь путь, вся цена. «Значение дроби» — та часть, которая известна. Единицы у ответа те же, что у значения: делили страницы — получили страницы.

Это задача, обратная нахождению дроби от числа. Там целое известно и его умножают на дробь: $\dfrac{3}{5}$ от 60 — это $60 \cdot \dfrac{3}{5} = 36$ . Здесь целое неизвестно — и мы делим. Поэтому ответ всегда легко проверить умножением.

Какой бывает дробь

Десятичная. 14 кг — это 0,7 массы мешка. Масса мешка: $$14 : 0{,}7 = 140 : 7 = 20$$ кг.

Проценты. Сначала проценты переводят в десятичную дробь. 9 учеников — это 30 % класса: $30\,\% = 0{,}3$ , и в классе $$9 : 0{,}3 = 30$$ учеников.

Больше единицы. Дробь может быть неправильной или смешанным числом. Смешанное число перед делением записывают неправильной дробью. Если в этом году собрали 50 кг слив, а это $1\dfrac{1}{4}$ прошлогоднего урожая, то в прошлом году собрали $50 : \dfrac{5}{4} = 50 \cdot \dfrac{4}{5} = 40$ кг.

Полезная прикидка: если дробь меньше 1, искомое число больше значения; если дробь больше 1 — меньше.

Когда известен остаток

Часто в условии дана не та часть, о которой спрашивают. «Потратили $\dfrac{2}{7}$ денег, осталось 350 р. Сколько денег было?» 350 р. — это не $\dfrac{2}{7}$ , а оставшаяся часть: $1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ . Делим именно на неё: $350 : \dfrac{5}{7} = 490$ р.

Как решать задачи

Найдите в условии целое — величину, которую принимают за 1 (или за 100 %). Если оно неизвестно, это задача на нахождение числа по его дроби.
Найдите известное значение и выясните, какой дроби целого оно соответствует.
Если в условии сказано о другой части («израсходовали», «прочитали»), вычислите дробь, которая приходится на известное значение: из 1 вычтите остальные части.
Проценты переведите в десятичную дробь, смешанное число — в неправильную дробь.
Разделите значение на дробь.
Проверьте: найдите ту же дробь от полученного числа — должно получиться данное значение.

Разобранные примеры

База

Длина маршрута

Условие

Туристы прошли 18 км, это $\dfrac{3}{4}$ маршрута. Какова длина всего маршрута?

Дано

18 км — это $\dfrac{3}{4}$ маршрута

Найти

длину маршрута

Решение

$18 : \dfrac{3}{4} = 18 \cdot \dfrac{4}{3} = 24$ (км).

Проверка: $\dfrac{3}{4}$ от 24 км — это $24 : 4 \cdot 3 = 18$ км. Верно.

Ответ: 24 км.

Средний

Урожай яблок

Условие

В этом году в саду собрали 840 кг яблок, это $1\dfrac{1}{6}$ прошлогоднего урожая. Сколько килограммов яблок собрали в прошлом году?

Дано

840 кг — это $1\dfrac{1}{6}$ прошлогоднего урожая

Найти

прошлогодний урожай

Решение

$1\dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}$ — записали смешанное число неправильной дробью.
$840 : \dfrac{7}{6} = 840 \cdot \dfrac{6}{7} = 720$ (кг) — прошлогодний урожай.

Прикидка: дробь больше 1, значит, в прошлом году собрали меньше, чем в этом. 720 < 840 — сходится.

Ответ: 720 кг.

Сложный

Два дня в походе

Условие

В первый день туристы прошли $\dfrac{2}{5}$ маршрута, во второй — $\dfrac{1}{3}$ маршрута. Им осталось пройти 12 км. Какова длина маршрута?

Дано

пройдено $\dfrac{2}{5}$ и $\dfrac{1}{3}$ маршрута
осталось 12 км

Найти

длину маршрута

Решение

$\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ — маршрута пройдено за два дня.
$1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ — маршрута осталось, это 12 км.
$12 : \dfrac{4}{15} = 12 \cdot \dfrac{15}{4} = 45$ (км) — весь маршрут.

Проверка: $\dfrac{2}{5}$ от 45 км — 18 км, $\dfrac{1}{3}$ — 15 км, $$45 - 18 - 15 = 12$$ км. Верно.

Ответ: 45 км.

Типичные ошибки

Умножают значение на дробь вместо деления

Почему неверно

«18 км — это $\dfrac{3}{4}$ маршрута». Ученик считает $18 \cdot \dfrac{3}{4} = 13{,}5$ км. Но так находят дробь от 18, а 18 км — уже часть маршрута. Весь маршрут не может быть короче своей части.

Как правильно

Если неизвестно целое, делите: $18 : \dfrac{3}{4} = 24$ км. Прикидка: при дроби меньше 1 ответ больше данного значения.

Делят на дробь, которая относится к другой части

Почему неверно

«Потратили $\dfrac{2}{7}$ денег, осталось 350 р.» Ученик делит $350 : \dfrac{2}{7} = 1225$ р. Но 350 р. — это остаток, а не потраченная часть. Проверка сразу видна: $\dfrac{2}{7}$ от 1225 — это 350 р. потратили, а осталось бы 875 р.

Как правильно

Сначала найдите дробь, соответствующую известному значению: $1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ . Затем $350 : \dfrac{5}{7} = 490$ р.

Делят на число процентов, не переведя его в дробь

Почему неверно

«6 кг — это 15 % массы». Ученик делит $$6 : 15 = 0{,}4$$ кг. Получилось, что целое меньше своей части, — так быть не может. Это 1 % массы, а не вся масса.

Как правильно

Переведите проценты в дробь: $15\,\% = 0{,}15$ , и $$6 : 0{,}15 = 40$$ кг. Или найдите 1 % ( $$6 : 15 = 0{,}4$$ кг) и умножьте на 100.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В корзине 12 красных яблок, это $\dfrac{2}{5}$ всех яблок в корзине. Сколько всего яблок в корзине?

Подсказка

Неизвестно целое — все яблоки. Значит, 12 нужно разделить на дробь.

Решение

Дано

12 яблок составляют $\dfrac{2}{5}$ всех яблок

Найти

число всех яблок

$12 : \dfrac{2}{5} = 12 \cdot \dfrac{5}{2} = 30$ (яблок).

Проверка: $\dfrac{2}{5}$ от 30 — это $30 : 5 \cdot 2 = 12$ . Верно.

Ответ

30 яблок

База Задача 2

Найдите число, 0,8 которого равны 56.

Подсказка

Разделите 56 на 0,8.

Решение

$$56 : 0{,}8 = 560 : 8 = 70$$ .

Проверка: $70 \cdot 0{,}8 = 56$ . Верно.

Ответ

70

Средний Задача 3

Велосипедист проехал 27 км, это 60 % всего пути. Какова длина всего пути?

Подсказка

Переведите 60 % в десятичную дробь и разделите на неё 27.

Решение

Дано

27 км составляют 60 % пути

Найти

длину пути

$60\,\% = 0{,}6$ .
$$27 : 0{,}6 = 270 : 6 = 45$$ (км) — весь путь.

Проверка: 60 % от 45 км — это $45 \cdot 0{,}6 = 27$ км. Верно.

Ответ

45 км

Средний Задача 4

Скорость автобуса 60 км/ч, это $2\dfrac{2}{3}$ скорости велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста.

Подсказка

Известна скорость автобуса и то, какую дробь она составляет от скорости велосипедиста. Разделите 60 на $2\dfrac{2}{3}$ .

Решение

Дано

60 км/ч — это $2\dfrac{2}{3}$ скорости велосипедиста

Найти

скорость велосипедиста

Смешанное число запишем неправильной дробью: $2\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}$ .

$60 : \dfrac{8}{3} = 60 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{180}{8} = 22{,}5$ (км/ч).

Дробь больше 1, поэтому скорость велосипедиста меньше скорости автобуса — так и вышло.

Ответ

22,5 км/ч

Сложный Задача 5

В первый день Оля прочитала $\dfrac{3}{8}$ книги, во второй — 0,25 книги. Ей осталось прочитать 54 страницы. Сколько страниц в книге?

Подсказка

Сначала найдите, какую часть книги составляют оставшиеся 54 страницы.

Решение

Дано

прочитано $\dfrac{3}{8}$ и 0,25 книги
осталось 54 страницы

Найти

число страниц в книге

$0{,}25 = \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$ ; $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$ — книги прочитано за два дня.
$1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$ — книги осталось, это 54 страницы.
$54 : \dfrac{3}{8} = 54 \cdot \dfrac{8}{3} = 144$ (страницы) — вся книга.

Проверка: $\dfrac{3}{8}$ от 144 — 54 страницы, 0,25 от 144 — 36 страниц, $$144 - 54 - 36 = 54$$ . Верно.

Ответ

144 страницы

Сложный Задача 6

Найдите число, $\dfrac{2}{3}$ которого равны 40 % от числа 45.

Подсказка

Сначала найдите 40 % от 45 — это значение дроби $\dfrac{2}{3}$ искомого числа.

Решение

$45 \cdot 0{,}4 = 18$ — это 40 % от 45.
$18 : \dfrac{2}{3} = 18 \cdot \dfrac{3}{2} = 27$ — искомое число.

Проверка: $\dfrac{2}{3}$ от 27 — это 18, и 40 % от 45 — тоже 18. Верно.

Ответ

27

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите полоску бумаги, сложите её на 4 равные части и закройте рукой одну. «Видимые три четверти — это 30 см. Какова длина всей полоски?» Пусть ребёнок сначала найдёт одну четверть ( $$30 : 3 = 10$$ см), потом всю полоску ( $10 \cdot 4 = 40$ см). Затем покажите, что то же самое даёт деление $30 : \dfrac{3}{4}$ . Хорошо работают задачи из жизни: «Мы проехали 120 км, это две трети пути. Сколько ехать всего?»

Вопросы для проверки понимания: 1) Половина числа равна 7. Чему равно число? 2) Чем отличаются задачи «найти $\dfrac{2}{3}$ от 30» и « $\dfrac{2}{3}$ числа равны 30»? 3) Число 10 — это $1\dfrac{1}{4}$ другого числа. Другое число больше или меньше 10?

На что обратить внимание. Главное — понять, что неизвестно: целое или часть. Если целое неизвестно — делим, если известно — умножаем. Приучайте проверять ответ: найти ту же дробь от полученного числа и сравнить с условием. В задачах с остатком спрашивайте: «Какой части соответствует это число?»

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 16	2.472, 2.473, 2.474, 2.475, 2.476, 2.477, 2.478, 2.479, 2.480, 2.481, 2.482, 2.483, 2.484, 2.485, 2.486, 2.487, 2.488, 2.489, 2.490, 2.491, 2.492, 2.493, 2.494, 2.495, 2.496, 2.497, 2.498, 2.499, 2.500, 2.501, 2.502, 2.503, 2.504, 2.505, 2.506