Как найти 2/7 от числа 35?

Умножить 35 на \dfrac{2}{7}

Разделить 35 на 2 и умножить на 7

Сложить 35 и \dfrac{2}{7}

Умножить 35 на 7 и разделить на 2

Каким будет 5/4 от числа 40 по сравнению с самим числом 40?

Такую дробь от числа найти нельзя

Нахождение дроби от числа — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение смешанных чисел

Коротко о главном

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. Правило одно для всех дробей: обыкновенной, десятичной, смешанного числа и процентов.

\dfrac{m}{n} \text{ от } a = a \cdot \dfrac{m}{n}

Подробное объяснение

Часть целого

В пакете 20 конфет, и $\dfrac{3}{5}$ из них — шоколадные. Сколько шоколадных конфет? Разделим 20 на 5 равных частей — в каждой по 4 конфеты. Возьмём 3 такие части: $4 \cdot 3 = 12$ . То же получится сразу, если умножить 20 на $\dfrac{3}{5}$ :

20 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{20 \cdot 3}{5} = 12.

Это и есть нахождение дроби от числа. Знаменатель показывает, на сколько равных частей делят число, числитель — сколько таких частей берут.

Полоска 20 разделена на 5 частей по 4, закрашены 3 — это 12, меньше 20. Вторая полоска — 5 частей по 5, на одну часть длиннее числа 20, вместе 25. — Правильная дробь от числа даёт меньше самого числа, неправильная — больше. В обоих случаях число умножают на дробь.

Правило

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. Слово «от» в задаче подсказывает действие: « $\dfrac{3}{5}$ от 20» значит $20 \cdot \dfrac{3}{5}$ .

Правило работает не только для правильных дробей.

Десятичная дробь. «0,8 от 45» — это $45 \cdot 0{,}8 = 36$ . Число 0,8 — тоже дробь, восемь десятых, поэтому действие то же.

Смешанное число. « $1\dfrac{1}{2}$ от 16» — это $16 \cdot 1\dfrac{1}{2}$ . Удобно представить смешанное число неправильной дробью: $16 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{16 \cdot 3}{2} = 24$ . Получилось больше 16, и это правильно: мы взяли число целиком и ещё половину.

Проценты. Процент — сотая доля, поэтому проценты сначала переводят в дробь: $24\,\% = 0{,}24$ , $106\,\% = 1{,}06$ . Дальше — то же умножение: 24 % от 150 — это $150 \cdot 0{,}24 = 36$ .

Меньше или больше числа?

Полезно заранее прикинуть ответ.

Если дробь меньше 1 (правильная дробь, 0,6, 35 %), результат меньше самого числа.
Если дробь равна 1 (100 %), результат равен числу.
Если дробь больше 1 ( $\dfrac{5}{4}$ , $2\dfrac{1}{3}$ , 1,2, 150 %), результат больше числа.

Например, если зарплату увеличили и новая составляет $1\dfrac{1}{4}$ прежней, новая зарплата больше. А если на полив ушло 0,6 воды из бочки, это меньше всей воды.

Задачи в несколько действий

Часто дробь от числа — только первый шаг. Например, сумма на вкладе через год: к исходной сумме прибавляют проценты. Можно найти проценты и прибавить их, а можно сразу взять 100 % + 6 % = 106 % от суммы, то есть умножить её на 1,06.

Бывает и «дробь от дроби»: $\dfrac{2}{3}$ от числа спортсменов, которые сами составляют $\dfrac{3}{5}$ класса. Тогда дроби находят по очереди: сначала от всего класса, потом — от полученного числа.

Как решать задачи

Найдите в условии, от чего берётся дробь: это число, которое умножают.
Если дробь дана в процентах, переведите её в десятичную дробь: разделите число процентов на 100.
Если дано смешанное число, представьте его неправильной дробью.
Умножьте число на дробь. Сократите, если можно, до умножения.
Если в задаче спрашивают об оставшейся части или о сумме частей, выполните ещё нужное сложение или вычитание.
Прикиньте ответ: дробь меньше 1 — результат меньше числа, больше 1 — больше. Люди, книги и машины в ответе — целые.

Разобранные примеры

База

Сколько учеников написали контрольную на «4» и «5»

Условие

В классе 28 учеников. $\dfrac{3}{4}$ из них написали контрольную на «4» и «5». Сколько это учеников?

Дано

28 учеников
на «4» и «5» написали $\dfrac{3}{4}$ класса

Найти

число таких учеников

Решение

Найдём $\dfrac{3}{4}$ от 28 — умножим 28 на $\dfrac{3}{4}$ :

28 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{28 \cdot 3}{4} = \dfrac{84}{4} = 21.

Прикидка: $\dfrac{3}{4}$ меньше 1, и 21 меньше 28. Верно.

Ответ: 21 ученик.

Средний

Новый маршрут длиннее старого

Условие

Старый маршрут автобуса имел длину 15 км. Новый маршрут составляет $1\dfrac{2}{5}$ старого. Какова длина нового маршрута?

Дано

старый маршрут 15 км
новый — $1\dfrac{2}{5}$ старого

Найти

длину нового маршрута

Решение

$1\dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{5}$ — представили смешанное число неправильной дробью.
Найдём $\dfrac{7}{5}$ от 15:

15 \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{15 \cdot 7}{5} = \dfrac{105}{5} = 21 \text{ (км)}.

Прикидка: $1\dfrac{2}{5}$ больше 1, значит, новый маршрут длиннее 15 км. Так и есть.

Ответ: 21 км.

Сложный

Сколько привезли свёклы

Условие

В магазин привезли 360 кг овощей. Картофель составлял 0,45 всех овощей, морковь — 25 % всех овощей, капуста — $\dfrac{2}{3}$ остального, а всё прочее — свёкла. Сколько килограммов свёклы привезли?

Дано

360 кг овощей; картофель — 0,45 всех овощей
морковь — 25 %
капуста — $\dfrac{2}{3}$ остального

Найти

массу свёклы

Решение

$360 \cdot 0{,}45 = 162$ (кг) — картофель.
$25\,\% = 0{,}25$ ; $360 \cdot 0{,}25 = 90$ (кг) — морковь.
$$360 - 162 - 90 = 108$$ (кг) — остальное, капуста и свёкла.
$108 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{108 \cdot 2}{3} = 72$ (кг) — капуста. Дробь здесь берётся от остатка, а не от всех 360 кг.
$$108 - 72 = 36$$ (кг) — свёкла.

Проверка: $$162 + 90 + 72 + 36 = 360$$ . Верно.

Ответ: 36 кг.

Типичные ошибки

Переворачивают дробь

Почему неверно

Ученик ищет $\dfrac{2}{5}$ от 30 так: $30 \cdot 5 : 2 = 75$ . Но $\dfrac{2}{5}$ — меньше целого, а 75 больше 30. Ответ больше числа при правильной дроби — верный признак ошибки.

Как правильно

Знаменатель — на сколько частей делим, числитель — сколько частей берём: $30 : 5 \cdot 2 = 12$ , или сразу $30 \cdot \dfrac{2}{5} = 12$ .

Умножают на число процентов, а не на дробь

Почему неверно

24 % от 120 считают как $120 \cdot 24 = 2880$ . Но 24 % — это 24 сотых, а не 24 целых. Ответ получился в сто раз больше.

Как правильно

Сначала переведите проценты в дробь: $24\,\% = 0{,}24$ . Потом умножайте: $120 \cdot 0{,}24 = 28{,}8$ .

Теряют целую часть смешанного числа

Почему неверно

$1\dfrac{1}{4}$ от 60 считают как $60 \cdot \dfrac{1}{4} = 15$ , забыв про единицу. Но $1\dfrac{1}{4}$ — это всё число и ещё четверть, ответ должен быть больше 60.

Как правильно

Представьте смешанное число неправильной дробью: $1\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$ , и $60 \cdot \dfrac{5}{4} = 75$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите $\dfrac{3}{8}$ от 64.

Подсказка

Умножьте 64 на $\dfrac{3}{8}$ .

Решение

$64 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{64 \cdot 3}{8} = \dfrac{192}{8} = 24$ .

Ответ

24

База Задача 2

В альбоме 80 марок, 0,35 из них — марки с животными. Сколько марок с животными в альбоме?

Подсказка

Чтобы найти 0,35 от 80, умножьте 80 на 0,35.

Решение

Дано

всего 80 марок
с животными — 0,35 всех марок

Найти

число марок с животными

$80 \cdot 0{,}35 = 28$ (марок).

Ответ

28 марок

Средний Задача 3

Велосипедист проехал 18 км, а мотоциклист — $2\dfrac{1}{3}$ этого расстояния. Сколько километров проехал мотоциклист?

Подсказка

Представьте $2\dfrac{1}{3}$ неправильной дробью и умножьте на неё 18.

Решение

Дано

велосипедист проехал 18 км
мотоциклист — $2\dfrac{1}{3}$ этого пути

Найти

путь мотоциклиста

$2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ — представили смешанное число неправильной дробью.
$18 \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{18 \cdot 7}{3} = \dfrac{126}{3} = 42$ (км) — проехал мотоциклист.

Прикидка: $2\dfrac{1}{3}$ больше 2, значит, ответ больше $18 \cdot 2 = 36$ км. Так и есть.

Ответ

42 км

Средний Задача 4

В бидоне было $4\dfrac{1}{2}$ л молока. На блины ушло $\dfrac{2}{3}$ этого молока. Сколько литров молока осталось в бидоне?

Подсказка

Сначала найдите, сколько молока ушло на блины, — это $\dfrac{2}{3}$ от $4\dfrac{1}{2}$ .

Решение

Дано

в бидоне $4\dfrac{1}{2}$ л
на блины ушло $\dfrac{2}{3}$ молока

Найти

сколько молока осталось

$4\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{9 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 3$ (л) — ушло на блины.
$4\dfrac{1}{2} - 3 = 1\dfrac{1}{2}$ (л) — осталось в бидоне.

Ответ

1\dfrac{1}{2}

л

Сложный Задача 5

В саду 240 деревьев. Яблони составляют 35 % всех деревьев, груши — 0,25 всех деревьев, остальные — сливы. Сколько слив в саду?

Подсказка

Найдите отдельно число яблонь и груш, а потом вычтите их из 240.

Решение

Дано

всего 240 деревьев
яблони — 35 %
груши — 0,25 всех деревьев

Найти

число слив

$35\,\% = 0{,}35$ ; $240 \cdot 0{,}35 = 84$ (дерева) — яблони.
$240 \cdot 0{,}25 = 60$ (деревьев) — груши.
$$84 + 60 = 144$$ (дерева) — яблони и груши вместе.
$$240 - 144 = 96$$ (деревьев) — сливы.

Проверка: $$84 + 60 + 96 = 240$$ . Верно.

Ответ

96 слив

Сложный Задача 6

В классе 30 учеников. $\dfrac{3}{5}$ из них занимаются спортом, а $\dfrac{2}{3}$ спортсменов ходят в бассейн. Сколько учеников класса ходят в бассейн? Какая это часть класса?

Подсказка

Вторая дробь берётся не от всего класса, а от числа спортсменов.

Решение

Дано

30 учеников
спортом занимаются $\dfrac{3}{5}$ класса
в бассейн ходят $\dfrac{2}{3}$ спортсменов

Найти

число учеников в бассейне и их долю в классе

$30 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{30 \cdot 3}{5} = 18$ (учеников) — занимаются спортом.
$18 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{18 \cdot 2}{3} = 12$ (учеников) — ходят в бассейн.
12 учеников из 30 — это $\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ класса. То же получится, если перемножить дроби: $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}$ .

Ответ

12 учеников;

\dfrac{2}{5}

класса

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 конфет или пуговиц и попросите ребёнка разложить их на 4 равные кучки — в каждой по 3. « $\dfrac{3}{4}$ от 12 — это три кучки, то есть 9». Потом покажите, что то же даёт умножение: $12 \cdot \dfrac{3}{4} = 9$ . Затем спросите про $\dfrac{5}{4}$ от 12: кучек не хватает, нужна ещё одна такая же — получится 15, больше 12. Для процентов подойдёт ценник: «Скидка 20 % от 500 р. — это $500 \cdot 0{,}2 = 100$ р.».

Вопросы для проверки понимания: 1) Что больше: $\dfrac{2}{3}$ от 30 или $\dfrac{4}{3}$ от 30? Почему, можно сказать без вычислений? 2) Как найти 15 % от 200? 3) Сколько будет $2\dfrac{1}{2}$ от 8?

На что обратить внимание. Пусть ребёнок перед вычислением говорит, от чего берётся дробь и будет ли ответ больше или меньше числа. Это ловит большинство ошибок: перевёрнутую дробь, забытый перевод процентов и потерянную целую часть.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 13	2.316, 2.317, 2.318, 2.319, 2.320, 2.321, 2.322, 2.323, 2.324, 2.325, 2.326, 2.327, 2.328, 2.329, 2.330, 2.331, 2.332, 2.333, 2.334, 2.335, 2.336, 2.337, 2.338, 2.339, 2.340, 2.341, 2.342, 2.343, 2.344, 2.345, 2.346, 2.347, 2.348, 2.349, 2.350, 2.351, 2.352, 2.353, 2.354, 2.355, 2.356, 2.357, 2.358, 2.359, 2.360, 2.361, 2.362, 2.363