Применение распределительного свойства умножения

Пример из жизни

Купили 4 пакета муки, в каждом \(1\dfrac{1}{4}\) кг. Сколько всего муки? Можно рассуждать так: в каждом пакете 1 целый килограмм и ещё четверть. Четыре целых килограмма — это 4 кг. Четыре четверти — ещё 1 кг. Всего \(4 + 1 = 5\) кг. Мы не переводили число в неправильную дробь, а просто умножили отдельно целую часть и отдельно дробную.

Распределительное свойство

Это свойство знакомо с 5 класса: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и результаты сложить. С разностью — так же:

Свойство верно для любых чисел, в том числе для дробей. Иногда оно сильно упрощает счёт. Например, \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot 12 = \dfrac{2}{3} \cdot 12 + \dfrac{3}{4} \cdot 12 = 8 + 9 = 17\) — без общего знаменателя.

Умножение смешанного числа на натуральное

Смешанное число — это сумма целой и дробной частей: \(2\dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}\). Значит, его можно умножать по частям:

Чтобы умножить смешанное число на натуральное, можно: 1) умножить на него целую часть; 2) умножить на него дробную часть; 3) сложить результаты. Если после второго шага получилась неправильная дробь, выделите из неё целую часть и прибавьте к первому результату.

Это не единственный способ: смешанное число можно перевести в неправильную дробь и умножить, как в прошлом пункте. Но по частям обычно короче, особенно с большими целыми частями.

Общий множитель — за скобки

Свойство можно читать и справа налево: \(a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c\). Если в двух произведениях есть одинаковый множитель, его выносят за скобки: \(2\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{7} + 1\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = \left(2\dfrac{2}{3} + 1\dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{3}{7} = 4 \cdot \dfrac{3}{7} = 1\dfrac{5}{7}\).

Выражения с буквой

Так же упрощают выражения, где одна и та же буква умножается на разные числа. Букву выносят за скобки, а числа в скобках складывают или вычитают:

Если дроби с одинаковыми знаменателями, можно писать сразу: \(\dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{5}y = \dfrac{4}{5}y\). Буква без числа впереди означает, что она умножена на 1: \(a = 1 \cdot a\).

Как решать задачи

1. Посмотрите, что умножается: смешанное число, сумма (разность) в скобках или несколько произведений с одинаковым множителем.
2. Смешанное число на натуральное — умножьте отдельно целую и дробную части, результаты сложите.
3. Сумма в скобках на число — если число делится на знаменатели, умножьте каждое слагаемое отдельно; иначе сначала выполните действие в скобках.
4. Сумма произведений с общим множителем — вынесите его за скобки и посчитайте сумму в скобках.
5. Выражение с буквой — вынесите букву за скобки, приведите дроби к общему знаменателю и выполните действия.
6. Сократите ответ, неправильную дробь превратите в смешанное число.