Как найти произведение двух смешанных чисел?

Записать оба числа неправильными дробями и перемножить эти дроби

Перемножить отдельно целые части и отдельно дробные части

Перемножить целые части, а дробные части сложить

Сначала привести дробные части к общему знаменателю

Какие равенства верны?

2\dfrac{1}{3} \cdot 1 = 2\dfrac{1}{3}

3\dfrac{1}{2} \cdot 2 = 6\dfrac{1}{2}

Умножение смешанных чисел — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Коротко о главном

Чтобы умножить смешанные числа, их записывают неправильными дробями и перемножают эти дроби: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Неправильную дробь в ответе снова превращают в смешанное число.

2\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}

Подробное объяснение

Задачи те же, числа другие

Грядка имеет длину 3 м и ширину 2 м. Её площадь — $3 \cdot 2 = 6$ м². А если длина $3\dfrac{1}{2}$ м, а ширина $1\dfrac{1}{5}$ м? Задача та же, и решается она так же — умножением: $3\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{5}$ . Если в задаче дробные данные, действие выбирают точно так же, как с натуральными числами: путь — скорость умножить на время, стоимость — цену на количество, площадь — длину на ширину.

Осталось научиться умножать сами смешанные числа.

Что мы уже умеем

С пятого класса известно, как умножать обыкновенные дроби:

\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}.

Дробь на натуральное число умножают так: числитель умножают на это число, а знаменатель оставляют. Например, $\dfrac{2}{9} \cdot 3 = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ .

Ещё мы умеем записывать смешанное число неправильной дробью: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. Так, $3\dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \dfrac{7}{2}$ , $1\dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}$ .

Правило

Чтобы найти произведение смешанных чисел, надо записать их неправильными дробями, а затем перемножить эти дроби.

Вернёмся к грядке:

3\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 5} = \dfrac{7 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \dfrac{21}{5} = 4\dfrac{1}{5} \text{ м}^2.

Обратите внимание: числа 6 и 2 мы сократили на 2 до умножения. Так числа остаются маленькими и считать проще. Сокращать можно любой множитель числителя с любым множителем знаменателя.

Так же умножают смешанное число на натуральное: $2\dfrac{3}{4} \cdot 4 = \dfrac{11}{4} \cdot 4 = 11$ . Умножается всё число целиком — и целая часть, и дробная.

Почему нельзя просто перемножить целые части с целыми, а дробные с дробными? Посмотрите на прямоугольник со сторонами $2\dfrac{1}{2}$ и $1\dfrac{1}{2}$ . При таком «умножении по частям» потерялись бы две полоски площади.

Прямоугольник со сторонами 2 1/2 и 1 1/2 разбит на части 2, 1/2, 1 и 1/4. Если перемножить только целые части и только дробные, получится 2 1/4, а две полоски 1 и 1/2 потеряются. — Площадь равна 2 + 1 + 1/2 + 1/4 = 3 3/4: умножать «целые на целые, дроби на дроби» нельзя.

Свойства умножения

Для смешанных чисел верны те же свойства, что и для натуральных. От перестановки множителей произведение не меняется, соседние множители можно группировать как удобно. Произведение любого числа на 0 равно 0, а на 1 — самому числу: $7\dfrac{2}{9} \cdot 0 = 0$ , $4\dfrac{1}{3} \cdot 1 = 4\dfrac{1}{3}$ .

Квадрат и куб смешанного числа — тоже произведения: $\left(1\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}$ .

Прикидка

Ответ полезно оценить заранее. Число $3\dfrac{1}{2}$ лежит между 3 и 4, а $1\dfrac{1}{5}$ — между 1 и 2. Значит, их произведение больше $3 \cdot 1 = 3$ и меньше $4 \cdot 2 = 8$ . Наш ответ $4\dfrac{1}{5}$ в эти границы попадает.

Как решать задачи

Если задача текстовая, выберите действие так, как выбрали бы его с натуральными числами.
Запишите каждое смешанное число неправильной дробью. Натуральное число можно оставить как есть.
Запишите произведение под одной чертой: сверху произведение числителей, снизу — знаменателей.
Сократите, что можно, ещё до умножения.
Перемножьте оставшиеся числа.
Если получилась неправильная дробь, выделите целую часть.
Проверьте ответ прикидкой по целым частям.

Разобранные примеры

База

Произведение двух смешанных чисел

Условие

Найдите произведение $3\dfrac{1}{3} \cdot 2\dfrac{1}{4}$ .

Решение

Запишем числа неправильными дробями: $3\dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$ , $2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}$ .

3\dfrac{1}{3} \cdot 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{10 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \dfrac{5 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \dfrac{15}{2} = 7\dfrac{1}{2}.

Сократили 10 и 4 на 2, а 9 и 3 — на 3. Прикидка: ответ между $3 \cdot 2 = 6$ и $4 \cdot 3 = 12$ .

Ответ:

7\dfrac{1}{2}

Средний

Площадь грядки

Условие

Грядка имеет форму прямоугольника длиной $4\dfrac{2}{5}$ м и шириной $2\dfrac{1}{2}$ м. Найдите её площадь.

Дано

длина $4\dfrac{2}{5}$ м
ширина $2\dfrac{1}{2}$ м

Найти

площадь грядки

Решение

Площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширину:

4\dfrac{2}{5} \cdot 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{22}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{22 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \dfrac{11 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 11 \text{ (м}^2\text{)}.

Произведение смешанных чисел может оказаться натуральным числом.

Ответ: 11 м²

Сложный

Путь велосипедиста

Условие

Велосипедист ехал $1\dfrac{1}{3}$ ч со скоростью $13\dfrac{1}{2}$ км/ч, а потом ещё $2\dfrac{1}{4}$ ч со скоростью $10\dfrac{2}{3}$ км/ч. Какой путь он проехал?

Дано

$1\dfrac{1}{3}$ ч со скоростью $13\dfrac{1}{2}$ км/ч
$2\dfrac{1}{4}$ ч со скоростью $10\dfrac{2}{3}$ км/ч

Найти

весь путь

Решение

Путь на первом участке:

13\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{27}{2} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{27 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \dfrac{9 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 18 \text{ (км)}.

Путь на втором участке:

10\dfrac{2}{3} \cdot 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{32}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{32 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \dfrac{8 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 24 \text{ (км)}.

Весь путь: $$18 + 24 = 42$$ (км).

Ответ: 42 км

Типичные ошибки

Перемножают отдельно целые и отдельно дробные части

Почему неверно

Ученик пишет $2\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{2} = 2\dfrac{1}{4}$ , потому что $2 \cdot 1 = 2$ и $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ . Так со сложением можно, а с умножением — нет. На рисунке видно: потерялись две полоски — 2 на $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{2}$ на 1.

Как правильно

Переведите числа в неправильные дроби: $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{4} = 3\dfrac{3}{4}$ . Прикидка тоже выдаёт ошибку: второй множитель больше 1, значит, произведение должно быть больше $2\dfrac{1}{2}$ , а $2\dfrac{1}{4}$ меньше.

При умножении на натуральное число умножают только дробную часть

Почему неверно

$3\dfrac{1}{2} \cdot 2$ превращают в $3\dfrac{2}{2} = 4$ . Но на 2 нужно умножить всё число: три целых тоже удваиваются. Прикидка сразу ловит ошибку: $3 \cdot 2 = 6$ , а ответ получился меньше.

Как правильно

$3\dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{7}{2} \cdot 2 = 7$ .

Ошибаются при переводе в неправильную дробь

Почему неверно

Пишут $4\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{3}$ (сложили 4 и 2) или $4\dfrac{2}{3} = \dfrac{11}{3}$ (умножили целую часть на числитель, а прибавили знаменатель). После такого перевода всё умножение даёт неверный ответ, даже если дальше всё сделано правильно.

Как правильно

Целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель: $4\dfrac{2}{3} = \dfrac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \dfrac{14}{3}$ . Проверка: $\dfrac{14}{3} = 14 : 3 = 4$ (ост. 2), то есть снова $4\dfrac{2}{3}$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите произведение $1\dfrac{2}{3} \cdot 2\dfrac{1}{5}$ .

Подсказка

Запишите оба числа неправильными дробями. Пятёрку в числителе и знаменателе можно сократить.

Решение

Переведём смешанные числа в неправильные дроби: $1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$ , $2\dfrac{1}{5} = \dfrac{11}{5}$ .

1\dfrac{2}{3} \cdot 2\dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{5 \cdot 11}{3 \cdot 5} = \dfrac{11}{3} = 3\dfrac{2}{3}.

Ответ

3\dfrac{2}{3}

База Задача 2

Найдите произведение $2\dfrac{3}{4} \cdot 8$ .

Подсказка

Запишите $2\dfrac{3}{4}$ неправильной дробью и умножьте её числитель на 8.

Решение

$2\dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \dfrac{11}{4}$ .

2\dfrac{3}{4} \cdot 8 = \dfrac{11 \cdot 8}{4} = \dfrac{11 \cdot 2}{1} = 22.

Ответ

22

Средний Задача 3

Найдите произведение $3\dfrac{3}{7} \cdot 2\dfrac{5}{8}$ .

Подсказка

Перед умножением сократите 24 и 8, а также 21 и 7.

Решение

$3\dfrac{3}{7} = \dfrac{24}{7}$ , $2\dfrac{5}{8} = \dfrac{21}{8}$ .

3\dfrac{3}{7} \cdot 2\dfrac{5}{8} = \dfrac{24 \cdot 21}{7 \cdot 8} = \dfrac{3 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 9.

Сократили 24 и 8 на 8, а 21 и 7 — на 7.

Ответ

9

Средний Задача 4

Один метр стальной трубы весит $4\dfrac{1}{6}$ кг. Сколько весит кусок такой трубы длиной $2\dfrac{2}{5}$ м?

Подсказка

Масса куска равна массе одного метра, умноженной на длину куска.

Решение

Дано

масса 1 м трубы $4\dfrac{1}{6}$ кг
длина куска $2\dfrac{2}{5}$ м

Найти

массу куска

Масса куска в $2\dfrac{2}{5}$ раза больше массы одного метра:

4\dfrac{1}{6} \cdot 2\dfrac{2}{5} = \dfrac{25}{6} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{25 \cdot 12}{6 \cdot 5} = \dfrac{5 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 10 \text{ (кг)}.

Прикидка: 4 кг · 2 = 8 кг, 5 кг · 3 = 15 кг; 10 кг лежит между ними.

Ответ

10 кг

Сложный Задача 5

Пол комнаты — прямоугольник длиной $5\dfrac{1}{4}$ м и шириной $3\dfrac{1}{5}$ м. Хватит ли 17 м² ламината, чтобы покрыть весь пол?

Подсказка

Найдите площадь пола и сравните её с 17 м².

Решение

Дано

длина $5\dfrac{1}{4}$ м
ширина $3\dfrac{1}{5}$ м
ламината 17 м²

Найти

хватит ли ламината

Площадь пола:

5\dfrac{1}{4} \cdot 3\dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{4} \cdot \dfrac{16}{5} = \dfrac{21 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \dfrac{84}{5} = 16\dfrac{4}{5} \text{ (м}^2\text{)}.

Сравним: $16\dfrac{4}{5} < 17$ , ламината хватит, и ещё останется $17 - 16\dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$ м².

Ответ

Площадь пола

16\dfrac{4}{5}

м², ламината хватит

Сложный Задача 6

Ребро кубического аквариума равно $1\dfrac{1}{2}$ дм. Сколько литров воды в него поместится? (1 дм³ = 1 л.)

Подсказка

Объём куба — ребро, умноженное само на себя три раза.

Решение

Дано

ребро куба $1\dfrac{1}{2}$ дм

Найти

объём в литрах

Объём куба:

\left(1\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{27}{8} = 3\dfrac{3}{8} \text{ (дм}^3\text{)}.

Так как 1 дм³ = 1 л, в аквариум поместится $3\dfrac{3}{8}$ л.

Ответ $1\dfrac{1}{8}$ л (куб целой части плюс куб дробной) неверен: смешанное число возводят в степень только через неправильную дробь.

Ответ

3\dfrac{3}{8}

л

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите рецепт: на одну порцию блинов нужно $1\dfrac{1}{2}$ стакана молока. Сколько нужно на 3 порции? Пусть ребёнок посчитает «в половинках»: $1\dfrac{1}{2}$ стакана — это 3 половинки, на 3 порции — 9 половинок, то есть $4\dfrac{1}{2}$ стакана. Это и есть перевод в неправильную дробь: $\dfrac{3}{2} \cdot 3 = \dfrac{9}{2}$ . Потом нарисуйте прямоугольник $2\dfrac{1}{2}$ на $1\dfrac{1}{2}$ клетки крупного размера и посчитайте площадь по кусочкам — станет видно, почему нельзя умножать «целые на целые, а дроби на дроби».

Вопросы для проверки понимания: 1) Как записать $3\dfrac{1}{4}$ неправильной дробью? 2) Почему $2\dfrac{1}{2} \cdot 2 = 5$ , а не $4\dfrac{2}{2}$ или $4\dfrac{1}{2}$ ? 3) Не считая, скажите: произведение $1\dfrac{1}{2} \cdot 2\dfrac{1}{2}$ больше 2 или меньше?

На что обратить внимание. Главные ошибки — умножение «по частям» и неверный перевод в неправильную дробь. Просите ребёнка проговаривать: «целую часть на знаменатель, плюс числитель». Поощряйте сокращение до умножения — оно спасает от больших чисел. И приучайте к прикидке по целым частям: она за секунду показывает, что ответ явно не тот.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 12	2.259, 2.260, 2.261, 2.262, 2.263, 2.264, 2.265, 2.266, 2.267, 2.268, 2.269, 2.270, 2.271, 2.272, 2.273, 2.274, 2.275, 2.276, 2.277, 2.278, 2.279, 2.280, 2.281, 2.282, 2.283, 2.284, 2.285, 2.286, 2.287, 2.288, 2.289, 2.290, 2.291, 2.292, 2.293, 2.294, 2.295, 2.296, 2.297, 2.298, 2.299, 2.300, 2.301, 2.302, 2.303, 2.304, 2.305, 2.306, 2.307, 2.308, 2.309, 2.310, 2.311, 2.312, 2.313, 2.314, 2.315