На графике движения есть участок — горизонтальный отрезок. Что это значит?

Тело стояло на месте

Тело двигалось с наибольшей скоростью

Тело возвращалось обратно

Тело двигалось по прямой дороге

Какие утверждения верны?

По графику можно найти значение величины не только в точках измерений, но и между ними

Обычно по горизонтальной оси откладывают время, а по вертикальной — изменяющуюся величину

Значения, снятые с графика, обычно приближённые

Если график идёт вверх, величина уменьшается

Каким способом лучше всего показать, как непрерывно менялась температура воздуха в течение суток?

Круговой диаграммой

Одним числом — средней температурой

Списком названий месяцев

Графики, график движения — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Координатная плоскость

Коротко о главном

График показывает, как одна величина меняется в зависимости от другой, чаще всего — от времени. По горизонтальной оси $$x$$ откладывают время, по вертикальной оси $$y$$ — значение величины. График движения показывает, на каком расстоянии от выбранного места находится тело в каждый момент времени.

Подробное объяснение

Зачем нужен график

Врач каждый месяц записывает рост малыша, метеостанция каждый час — температуру воздуха. Можно сложить числа в таблицу, но по таблице трудно сразу увидеть, быстро или медленно менялась величина и какой она была между измерениями. Например, рост измерили в 1 год и в 2 года — а каким он был в полтора года?

Отметим каждое измерение точкой на координатной плоскости: первая координата — время, вторая — значение величины. Соединим соседние точки отрезками. Получится ломаная линия. Если измерять чаще, ломаная станет почти гладкой. А если бы величину измеряли непрерывно, получилась бы сплошная линия — её называют графиком зависимости величины от времени.

Формулы и таблицы нужны, когда важна точность. Круговые диаграммы удобны, чтобы показать части целого, столбчатые — чтобы сравнить отдельные значения. А если величина меняется непрерывно (температура, рост, путь), её чаще всего изображают графиком.

Как читать график

Чтобы узнать значение величины в нужный момент, найдите этот момент на оси $$x$$ , поднимитесь вертикально до графика, затем идите горизонтально до оси $$y$$ и прочитайте число. Обратная задача решается в обратном порядке: от числа на оси $$y$$ — горизонтально до графика, затем вниз до оси $$x$$ .

По форме линии видно и поведение величины:

линия идёт вверх (слева направо) — величина растёт;
линия идёт вниз — величина уменьшается;
горизонтальный участок — величина не меняется;
чем круче участок, тем быстрее идёт изменение.

Значения, снятые с графика, приближённые: точность зависит от масштаба и от того, насколько аккуратно построен рисунок. На клетчатой и особенно на миллиметровой бумаге график точнее.

График движения

Велосипедист выехал из дома в 9 ч и ехал к озеру со скоростью 12 км/ч. К 11 ч он проехал $12 \cdot 2 = 24$ км, час отдыхал, а потом за 3 ч вернулся домой. По оси $$x$$ отложим время суток, по оси $$y$$ — расстояние от дома.

Пока велосипедист едет с постоянной скоростью, точки графика лежат на одной прямой, поэтому график — отрезок. Отдых — горизонтальный отрезок: время идёт, расстояние остаётся 24 км. Обратный путь — отрезок, идущий вниз, он положе первого: назад велосипедист ехал медленнее, $$24 : 3 = 8$$ км/ч. Пунктир показывает, как прочитать график: в 10 ч велосипедист был в 12 км от дома.

Иногда тело проезжает через выбранное место. Тогда расстояние до него, пока тело только приближается, удобно считать отрицательным, а после — положительным. График движения в этом случае пересекает ось $$x$$ в тот момент, когда тело проезжает это место.

Как решать задачи

Прочитайте подписи осей: что откладывают по $$x$$ и по $$y$$ и в каких единицах.
Определите цену деления: сколько единиц приходится на одну клетку по каждой оси.
Чтобы найти значение в момент времени, идите от оси $$x$$ вертикально до графика и горизонтально до оси $$y$$ .
Чтобы найти, когда величина приняла значение, идите от оси $$y$$ горизонтально до графика и вниз до оси $$x$$ . Таких моментов может быть несколько.
Изменение величины — разность «позже минус раньше»: плюс — выросла, минус — уменьшилась.
Для графика движения: скорость на прямом участке равна изменению расстояния, делённому на время этого участка.
Чтобы построить график движения, составьте таблицу «время — расстояние», отметьте точки и соедините их.

Разобранные примеры

База

Читаем график поездки к озеру

Условие

По графику на рисунке выше определите: на каком расстоянии от дома был велосипедист в 13 ч; когда он был в 12 км от дома.

Решение

Находим 13 на оси $$x$$ , поднимаемся до графика — попадаем на участок обратного пути. Горизонтально от этой точки на оси $$y$$ число 16. В 13 ч велосипедист был в 16 км от дома.
Находим 12 на оси $$y$$ и идём горизонтально. Линия пересекает график дважды: на пути к озеру и на обратном пути. Опускаемся вниз: 10 ч и 13 ч 30 мин.

Проверим вычислением: к 10 ч он ехал 1 ч со скоростью 12 км/ч — 12 км. С 12 ч до 13 ч 30 мин он проехал назад $8 \cdot 1{,}5 = 12$ км и был в $$24 - 12 = 12$$ км от дома.

Ответ: 16 км; в 10 ч и в 13 ч 30 мин.

Средний

Строим график по описанию

Условие

Лодка отошла от пристани в 7 ч и плыла со скоростью 6 км/ч до 9 ч. Там она стояла 1 ч, потом пошла дальше со скоростью 8 км/ч ещё 2 ч. Составьте таблицу, укажите точки излома графика движения и найдите расстояние от пристани в 11 ч.

Дано

7–9 ч со скоростью 6 км/ч
9–10 ч стоянка
10–12 ч со скоростью 8 км/ч

Найти

точки графика
расстояние в 11 ч

Решение

$6 \cdot 2 = 12$ (км) — расстояние от пристани в 9 ч.
С 9 до 10 ч лодка стоит: в 10 ч расстояние то же, 12 км.
$8 \cdot 2 = 16$ (км) — путь с 10 до 12 ч; $$12 + 16 = 28$$ (км) — расстояние в 12 ч.

Точки излома: $$(7; 0)$$ , $$(9; 12)$$ , $$(10; 12)$$ , $$(12; 28)$$ . Соединяем их отрезками — получается график движения.

В 11 ч лодка шла после стоянки 1 ч: $12 + 8 \cdot 1 = 20$ (км).

Ответ: Точки

\((7; 0)\)

,

\((9; 12)\)

,

\((10; 12)\)

,

\((12; 28)\)

; в 11 ч — 20 км.

Сложный

Движение через город

Условие

Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч и в 10 ч проезжает через город. Расстояние до города, пока автомобиль только едет к нему, считают отрицательным. Заполните таблицу для 8, 9, 10, 11 и 12 ч. Где был автомобиль в 8 ч 30 мин?

Решение

Каждый час расстояние увеличивается на 60 км, а в 10 ч оно равно 0.

8 ч: $$-120$$ км (за 2 ч до города);
9 ч: $$-60$$ км;
10 ч: 0 км;
11 ч: 60 км;
12 ч: 120 км.

Точки $$(8; -120)$$ , $$(9; -60)$$ , $$(10; 0)$$ , $$(11; 60)$$ , $$(12; 120)$$ лежат на одной прямой. Часть графика левее 10 ч лежит ниже оси $$x$$ .

В 8 ч 30 мин до города оставалось 1,5 ч пути: $60 \cdot 1{,}5 = 90$ км. Расстояние равно $$-90$$ км.

Ответ: Таблица: −120, −60, 0, 60, 120 км; в 8 ч 30 мин автомобиль был в 90 км до города (−90 км).

Типичные ошибки

Путают оси при чтении графика

Почему неверно

Нужно узнать температуру в 8 ч, а ученик находит число 8 на оси температур и ищет по нему время. Получается ответ на другой вопрос.

Как правильно

Сначала прочитайте подписи осей. Время обычно на оси $$x$$ : от нужного момента идите вверх (или вниз) до графика, а уже потом — горизонтально к оси значений.

Не учитывают цену деления

Почему неверно

На оси расстояний одна клетка — 5 км, а ученик считает клетки как километры: точка на высоте 6 клеток у него «6 км» вместо 30 км.

Как правильно

Перед чтением найдите, сколько единиц приходится на одну клетку: разность двух соседних подписанных чисел разделите на число клеток между ними. Затем умножайте число клеток на цену деления.

Считают горизонтальный участок графика движения равномерным движением

Почему неверно

Ученик видит длинный горизонтальный отрезок и решает, что тело «ехало ровно». Но на этом участке расстояние не меняется — тело стоит. А участок, идущий вниз, означает движение обратно, к месту отсчёта, а не остановку.

Как правильно

Смотрите, меняется ли значение на оси $$y$$ : растёт — удаляется, не меняется — стоит, уменьшается — приближается.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Температуру воздуха измеряли каждые 4 часа. В 0 ч было −3 °C, в 4 ч −5 °C, в 8 ч −1 °C, в 12 ч 4 °C, в 16 ч 6 °C, в 20 ч 2 °C. На сколько градусов поднялась температура с 4 ч до 16 ч?

Подсказка

Найдите разность между значением в 16 ч и значением в 4 ч.

Решение

По точкам графика: в 4 ч температура $$-5$$ °C, в 16 ч она $$6$$ °C.

Изменение температуры: $$6 - (-5) = 6 + 5 = 11$$ (°C).

Температура выросла, потому что разность положительная.

Ответ

На 11 °C

База Задача 2

Пешеход вышел из посёлка в 8 ч и идёт со скоростью 5 км/ч. Составьте таблицу его расстояния от посёлка в 8, 9, 10 и 11 ч. Через какие точки пройдёт график движения? На каком расстоянии он будет в 10 ч?

Подсказка

Каждый час расстояние увеличивается на 5 км.

Решение

Дано

выход в 8 ч
скорость 5 км/ч

Найти

таблицу и расстояние в 10 ч

За каждый час пешеход проходит 5 км:

8 ч — 0 км;
9 ч — 5 км;
10 ч — $5 \cdot 2 = 10$ км;
11 ч — $5 \cdot 3 = 15$ км.

График проходит через точки $$(8; 0)$$ , $$(9; 5)$$ , $$(10; 10)$$ , $$(11; 15)$$ ; все они лежат на одной прямой.

Ответ

Точки (8; 0), (9; 5), (10; 10), (11; 15); в 10 ч — 10 км

Средний Задача 3

График движения автобуса — отрезок, соединяющий точки (9; 0) и (12; 180), где первое число — время суток в часах, второе — расстояние от вокзала в километрах. Найдите скорость автобуса и его расстояние от вокзала в 10 ч 30 мин.

Подсказка

За сколько часов автобус проехал 180 км? Сколько часов прошло к 10 ч 30 мин?

Решение

Дано

в 9 ч автобус у вокзала
в 12 ч — в 180 км от него
движение равномерное

Найти

скорость; расстояние в 10 ч 30 мин

$$12 - 9 = 3$$ (ч) — время в пути.
$$180 : 3 = 60$$ (км/ч) — скорость автобуса.
От 9 ч до 10 ч 30 мин прошло 1 ч 30 мин, то есть $$1{,}5$$ ч.
$60 \cdot 1{,}5 = 90$ (км) — расстояние от вокзала в 10 ч 30 мин.

На графике точка $$(10{,}5; 90)$$ лежит ровно посередине отрезка.

Ответ

60 км/ч; 90 км

Средний Задача 4

График движения велосипедиста — ломаная через точки (8; 0), (10; 30), (11; 30) и (13; 0): первое число — время в часах, второе — расстояние от дома в километрах. Что делал велосипедист с 10 до 11 ч? С какой скоростью он возвращался домой?

Подсказка

Горизонтальный отрезок — расстояние не меняется. На обратный путь ушло время от 11 до 13 ч.

Решение

С 10 до 11 ч расстояние от дома всё время равно 30 км — участок графика горизонтальный. Значит, велосипедист стоял на месте (отдыхал).

Обратный путь — участок от точки $$(11; 30)$$ до точки $$(13; 0)$$ :

$$13 - 11 = 2$$ (ч) — время на обратный путь.
$$30 : 2 = 15$$ (км/ч) — скорость на обратном пути.

Ответ

Стоял на месте (отдыхал); 15 км/ч

Сложный Задача 5

Поезд идёт с постоянной скоростью 80 км/ч и в 12 ч проходит станцию. Расстояние до станции, пока поезд к ней только едет, считают отрицательным. Где был поезд в 10 ч 30 мин? Во сколько он будет в 200 км за станцией?

Подсказка

За каждый час расстояние увеличивается на 80 км; до 12 ч оно отрицательное.

Решение

Дано

скорость 80 км/ч
в 12 ч поезд на станции (расстояние 0)

Найти

расстояние в 10 ч 30 мин; время
когда расстояние 200 км

От 10 ч 30 мин до 12 ч проходит 1,5 ч. За это время поезд проезжает $80 \cdot 1{,}5 = 120$ (км). Значит, в 10 ч 30 мин он был в 120 км до станции — расстояние $$-120$$ км.
$$200 : 80 = 2{,}5$$ (ч) — время, за которое поезд проедет 200 км после станции.
12 ч + 2,5 ч = 14 ч 30 мин.

На графике это точки $$(10{,}5; -120)$$ и $$(14{,}5; 200)$$ — они лежат на одной прямой с точкой $$(12; 0)$$ .

Ответ

За 120 км до станции (−120 км); в 14 ч 30 мин

Сложный Задача 6

Из посёлка в 9 ч выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, а в 10 ч по той же дороге за ним — мотоциклист со скоростью 18 км/ч. Постройте таблицы расстояний от посёлка на 9, 10, 11, 12 ч и найдите, когда и на каком расстоянии мотоциклист догонит велосипедиста.

Подсказка

Догнал — значит, в одно и то же время расстояния от посёлка равны; на графике это точка пересечения.

Решение

Дано

велосипедист — выезд в 9 ч
12 км/ч; мотоциклист — выезд в 10 ч
18 км/ч

Найти

время и место встречи

Расстояния от посёлка:

9 ч: велосипедист 0 км, мотоциклист ещё не выехал;
10 ч: велосипедист 12 км, мотоциклист 0 км;
11 ч: велосипедист 24 км, мотоциклист 18 км;
12 ч: велосипедист 36 км, мотоциклист 36 км.

В 12 ч расстояния совпали. Графики движения пересекаются в точке $$(12; 36)$$ : мотоциклист догнал велосипедиста в 12 ч в 36 км от посёлка.

Проверка: велосипедист ехал 3 ч, $12 \cdot 3 = 36$ км; мотоциклист 2 ч, $18 \cdot 2 = 36$ км.

Ответ

В 12 ч, в 36 км от посёлка

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вспомните с ребёнком недавнюю поездку или прогулку: во сколько вышли, когда дошли до магазина, сколько там пробыли, когда вернулись. Нарисуйте на клетчатой бумаге две оси — «время» и «расстояние от дома» — и вместе постройте график. Покажите, что стоянка в магазине — горизонтальный отрезок, а дорога домой — линия вниз.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как по графику узнать значение величины в нужный момент времени? 2) Что означает горизонтальный участок на графике движения? 3) Как по графику понять, на каком участке тело двигалось быстрее?

На что обратить внимание. Главные ошибки — путаница осей и неверная цена деления. Попросите ребёнка перед каждой задачей вслух сказать, что откладывается по каждой оси и чему равна одна клетка. Значения с графика приближённые — ответ «около 12 км» нормален.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 44	6.87, 6.88, 6.89, 6.90, 6.91, 6.92, 6.93, 6.94, 6.95, 6.96, 6.97, 6.98, 6.99, 6.100, 6.101, 6.102, 6.103, 6.104, 6.105, 6.106, 6.107, 6.108, 6.109, 6.110, 6.111, 6.112, 6.113, 6.114, 6.115, 6.116, 6.117, 6.118, 6.119, 6.120, 6.121, 6.122, 6.123, 6.124, 6.125, 6.126