Деление на десятичную дробь — 5 класс, математика

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Чтобы разделить число на десятичную дробь, переносят запятую в делителе и в делимом вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем делят на натуральное число.

\[4{,}674 : 1{,}23 = 467{,}4 : 123 = 3{,}8\]

Подробное объяснение

Представьте, что у вас 2 литра сока и стаканы по 0,25 литра. Сколько стаканов получится? Нужно разделить 2 на 0,25. Делить на натуральное число вы уже умеете, а на дробь — пока нет. Но эту задачу легко свести к знакомой.

Почему можно переносить запятую

Частное не меняется, если делимое и делитель умножить на одно и то же число. Например, $$6 : 2 = 3$$ и $$60 : 20 = 3$$ : если поровну увеличить «сколько делим» и «на сколько делим», ответ останется прежним.

Умножим делимое и делитель на 100: $$2 : 0{,}25 = 200 : 25 = 8$$ . Получится 8 стаканов. Умножение на 100 — это перенос запятой на две цифры вправо. Так из делителя 0,25 получилось натуральное число 25.

Правило

Посчитайте, сколько цифр стоит после запятой в делителе.
Перенесите запятую вправо на столько же цифр и в делителе, и в делимом. Делитель станет натуральным числом.
Если в делимом не хватает цифр после запятой, припишите справа нули: $27{,}5 : 0{,}625 = 27\,500 : 625 = 44$ .
Разделите получившуюся дробь на натуральное число, как раньше: уголком, ставя запятую в частном, когда закончилась целая часть делимого.

Число цифр после запятой в делимом на перенос не влияет. Важен только делитель.

Деление на 0,1; 0,01; 0,001

Разделить на 0,1 — значит перенести запятую на одну цифру вправо, то есть умножить на 10. Деление на 0,01 — это умножение на 100, деление на 0,001 — умножение на 1000:

3{,}46 : 0{,}1 = 34{,}6, \qquad 3{,}46 : 0{,}01 = 346, \qquad 3{,}46 : 0{,}001 = 3460.

Больше или меньше станет число

Числовой луч от 0 до 2 с делениями через 0,5. Четыре дуги-прыжка по 0,5 покрывают отрезок от 0 до 2, поэтому 2 : 0,5 = 4. — Деление на 0,5 отвечает на вопрос «сколько раз 0,5 помещается в числе». Делитель меньше 1, поэтому частное 4 больше делимого 2.

Деление отвечает на вопрос «сколько раз делитель помещается в делимом». Половинка помещается в двойке 4 раза, поэтому $$2 : 0{,}5 = 4$$ . Отсюда полезное правило для прикидки:

если делитель меньше 1, частное больше делимого: $$4{,}5 : 0{,}9 = 5$$ ;
если делитель больше 1, частное меньше делимого: $$4{,}5 : 1{,}5 = 3$$ .

Прикидка помогает поймать ошибку с запятой. Если вы делите 12 на 0,4 и получили 3, ответ точно неверный: он должен быть больше 12 (верно $$120 : 4 = 30$$ ).

Как решать задачи

Запишите деление и найдите число знаков после запятой в делителе.
Перенесите запятую в делителе и делимом, при необходимости допишите нули.
Разделите на натуральное число.
Прикиньте: частное больше или меньше делимого? Совпадает ли это с ответом?
Проверьте умножением: частное, умноженное на исходный делитель, должно дать делимое.

Разобранные примеры

База

Деление дроби на дробь

Условие

Вычислите $$6{,}72 : 2{,}4$$ .

Решение

В делителе одна цифра после запятой. Переносим запятую на одну цифру вправо в обоих числах: $$6{,}72 : 2{,}4 = 67{,}2 : 24$$ .

Делим уголком: 67 : 24 — по 2, остаток 19; ставим в частном запятую, сносим 2: 192 : 24 = 8. Получаем 2,8.

Проверка: $2{,}8 \cdot 2{,}4 = 6{,}72$ .

Ответ: 2,8

Средний

Натуральное число делим на дробь

Условие

Вычислите $$36 : 0{,}045$$ .

Решение

В делителе три знака после запятой. В делимом 36 знаков после запятой нет, поэтому приписываем три нуля: $$36 = 36{,}000$$ . Переносим запятую на три цифры вправо: $36 : 0{,}045 = 36\,000 : 45 = 800$ .

Прикидка: делитель меньше 1, значит, частное больше 36. Так и вышло.

Ответ: 800

Сложный

Сколько баночек наполнится

Условие

Из 4,2 л сока разливают сок в баночки по 0,35 л. Сколько баночек можно наполнить?

Дано

сока 4,2 л
одна баночка — 0,35 л

Найти

число баночек

Решение

Нужно узнать, сколько раз 0,35 помещается в 4,2: $$4{,}2 : 0{,}35$$ . В делителе два знака после запятой, в делимом один, поэтому приписываем нуль и переносим запятую на две цифры: $$4{,}2 : 0{,}35 = 420 : 35 = 12$$ .

Проверка: $0{,}35 \cdot 12 = 4{,}2$ л.

Ответ: 12 баночек

Типичные ошибки

Переносят запятую только в делителе

Почему неверно

Если сделать делитель в 10 или 100 раз больше, а делимое не трогать, частное станет в 10 или 100 раз меньше. Например, $1{,}2 : 0{,}3 \ne 1{,}2 : 3$ : верный ответ 4, а не 0,4.

Как правильно

Запятую переносят в обоих числах на одно и то же число цифр: $$1{,}2 : 0{,}3 = 12 : 3 = 4$$ .

Считают цифры после запятой в делимом

Почему неверно

В примере $$8{,}64 : 0{,}2$$ ученик видит две цифры после запятой в делимом и делает делимое натуральным: переносит в нём запятую на две цифры, а в делителе — на одну. Получается $$864 : 2 = 432$$ , ответ в 10 раз больше верного.

Как правильно

Число переносов задаёт только делитель. В 0,2 одна цифра после запятой, значит, переносим на одну: $$8{,}64 : 0{,}2 = 86{,}4 : 2 = 43{,}2$$ .

Забывают приписать нули к делимому

Почему неверно

В $$27{,}5 : 0{,}625$$ запятую нужно перенести на три цифры, а в делимом после запятой только одна. Если написать $$275 : 625$$ , делимое увеличится в 10 раз вместо 1000, и ответ получится 0,44 вместо 44.

Как правильно

Сначала уравняйте число знаков, дописав нули: $$27{,}5 = 27{,}500$$ . Потом переносите запятую: $27\,500 : 625 = 44$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Вычислите $$7{,}56 : 0{,}9$$ .

Подсказка

В делителе один знак после запятой — перенесите запятую на одну цифру вправо в обоих числах.

Решение

$$7{,}56 : 0{,}9 = 75{,}6 : 9 = 8{,}4$$ . Проверка: $8{,}4 \cdot 0{,}9 = 7{,}56$ .

Ответ

8,4

База Задача 2

Вычислите $$0{,}45 : 0{,}01$$ .

Подсказка

Деление на 0,01 — то же, что умножение на 100.

Решение

Переносим запятую на две цифры вправо, поэтому $$0{,}45 : 0{,}01 = 45$$ .

Ответ

45

Средний Задача 3

Вычислите $$0{,}0396 : 0{,}12$$ .

Подсказка

Перенесите запятую на две цифры вправо и делите на 12.

Решение

$$0{,}0396 : 0{,}12 = 3{,}96 : 12 = 0{,}33$$ . Целая часть равна нулю, потому что 3,96 меньше 12.

Ответ

0,33

Средний Задача 4

Ленту длиной 6,3 м разрезали на куски по 0,45 м. Сколько получилось кусков?

Подсказка

Узнайте, сколько раз 0,45 укладывается в 6,3.

Решение

$$6{,}3 : 0{,}45 = 630 : 45 = 14$$ кусков. В делимом не хватило знака после запятой, поэтому приписали нуль: $$6{,}3 = 6{,}30$$ .

Ответ

14 кусков

Сложный Задача 5

Решите уравнение $$1{,}2x - 0{,}35x = 2{,}04$$ .

Подсказка

Сначала приведите подобные слагаемые.

Решение

$$1{,}2x - 0{,}35x = 0{,}85x$$ , поэтому $$0{,}85x = 2{,}04$$ , откуда $$x = 2{,}04 : 0{,}85 = 204 : 85 = 2{,}4$$ . Проверка: $1{,}2 \cdot 2{,}4 - 0{,}35 \cdot 2{,}4 = 2{,}88 - 0{,}84 = 2{,}04$ .

Ответ

x = 2,4

Сложный Задача 6

Не вычисляя, сравните $$3{,}6 : 0{,}9$$ и $3{,}6 \cdot 0{,}9$ . Объясните ответ.

Подсказка

Что происходит с числом при делении и при умножении на дробь, меньшую единицы?

Решение

При делении на 0,9 (дробь меньше 1) число увеличивается, поэтому $$3{,}6 : 0{,}9 > 3{,}6$$ . При умножении на 0,9 число уменьшается, поэтому $3{,}6 \cdot 0{,}9 < 3{,}6$ . Значит, частное больше произведения (для проверки: 4 и 3,24).

Ответ

3,6 : 0,9 больше, чем 3,6 · 0,9

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите литровую бутылку воды и стакан на 0,25 л. Спросите: сколько стаканов нальём из бутылки? Ребёнок увидит, что 4: это и есть $$1 : 0{,}25 = 4$$ . Деление на число меньше единицы даёт больше, чем было. Потом покажите правило: $$1 : 0{,}25 = 100 : 25$$ . Если и воду, и стакан «измерить в сотых долях литра», ответ не изменится, но делить становится легко.

Вопросы для проверки понимания: 1) На сколько цифр переносят запятую в примере $$5{,}4 : 0{,}06$$ и почему? 2) Чему равно $$7 : 0{,}1$$ ? 3) Может ли частное $$3 : 0{,}8$$ быть меньше 3?

На что обратить внимание. Частая беда — запятая не там. Приучите ребёнка к прикидке («делитель меньше 1 — ответ больше делимого») и к проверке умножением. Если не получается делить уголком на двузначное число, сначала потренируйте деление десятичной дроби на натуральное число: эта тема на нём держится.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 48	6.316, 6.317, 6.318, 6.319, 6.320, 6.321, 6.322, 6.323, 6.324, 6.325, 6.326, 6.327, 6.328, 6.329, 6.330, 6.331, 6.332, 6.333, 6.334, 6.335, 6.336, 6.337, 6.338, 6.339, 6.340, 6.341, 6.342, 6.343, 6.344, 6.345, 6.346, 6.347, 6.348, 6.349, 6.350, 6.351, 6.352, 6.353, 6.354, 6.355, 6.356, 6.357, 6.358, 6.359, 6.360, 6.361, 6.362, 6.363, 6.364, 6.365, 6.366, 6.367, 6.368, 6.369, 6.370, 6.371, 6.372