Умножение на десятичную дробь — 5 класс, математика

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Коротко о главном

Чтобы перемножить две десятичные дроби, их умножают как натуральные числа, не глядя на запятые, а потом в произведении отделяют запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Умножить на 0,1; 0,01; 0,001 — значит перенести запятую влево на 1, 2, 3 цифры.

2{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}72 \quad (24 \cdot 3 = 72,\ 1 + 1 = 2 \text{ цифры})

Подробное объяснение

Зачем умножать на дробь

Килограмм сыра стоит 600 р., а вы покупаете 0,3 кг. Сколько платить? Килограмм — 600 р., десятая часть килограмма — в 10 раз меньше, 60 р., а три десятых — втрое больше, 180 р. Получилось $600 \cdot 0{,}3 = 180$ . Правило «цена × масса» работает и для дробной массы, поэтому и действие то же — умножение.

Умножение на 0,1; 0,01; 0,001

$$0{,}1$$ — это одна десятая. Взять число 0,1 раза — то же самое, что взять его десятую часть, то есть разделить на 10. Так же умножить на 0,01 — разделить на 100, на 0,001 — разделить на 1000.

Отсюда простое правило: запятую переносят влево на столько цифр, сколько знаков после запятой у множителя 0,1; 0,01; 0,001. Если цифр не хватает, слева дописывают нули:

37{,}5 \cdot 0{,}1 = 3{,}75, \qquad 37{,}5 \cdot 0{,}01 = 0{,}375, \qquad 37{,}5 \cdot 0{,}001 = 0{,}0375.

Умножение двух десятичных дробей

Посчитаем $0{,}3 \cdot 0{,}4$ через площадь. Квадрат 1 м × 1 м разобьём на 100 клеток, каждая — 0,01 м². Прямоугольник 0,4 м × 0,3 м занимает 3 ряда по 4 клетки, то есть 12 клеток.

Квадрат 1 м на 1 м разбит на 100 клеток по 0,01 м². В углу закрашен прямоугольник 0,4 м на 0,3 м — 3 ряда по 4 клетки, всего 12 клеток, то есть 0,12 м². — Десятые на десятые дают сотые, поэтому 0,3 · 0,4 = 0,12 — после запятой 1 + 1 = 2 цифры.

Значит, $0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$ . Цифры ответа — это $3 \cdot 4 = 12$ , а запятая стоит так, что после неё две цифры: десятые на десятые дают сотые.

В общем случае рассуждаем так. Увеличим каждый множитель, чтобы он стал натуральным числом: $2{,}35 \cdot 1{,}4$ превратим в $235 \cdot 14$ . Первый множитель мы увеличили в 100 раз, второй — в 10 раз, произведение выросло в $100 \cdot 10 = 1000$ раз. Поэтому результат $235 \cdot 14 = 3290$ надо уменьшить в 1000 раз — перенести запятую на 3 цифры влево: $$3{,}290 = 3{,}29$$ . Три цифры — это $$2 + 1$$ , сумма знаков после запятой у множителей.

Больше или меньше?

При умножении на десятичную дробь, большую 1, число увеличивается: $5 \cdot 1{,}2 = 6$ . При умножении на дробь, меньшую 1, число уменьшается: $5 \cdot 0{,}8 = 4$ . Это удобная проверка: если умножили на 0,8 и получили больше исходного числа — где-то ошибка.

Свойства умножения

Для десятичных дробей верны все знакомые свойства: множители можно переставлять и группировать, общий множитель можно выносить за скобки. Удобные пары: $0{,}5 \cdot 2 = 1$ , $0{,}25 \cdot 4 = 1$ , $0{,}125 \cdot 8 = 1$ , $2{,}5 \cdot 4 = 10$ . Например, $0{,}25 \cdot 7{,}3 \cdot 4 = (0{,}25 \cdot 4) \cdot 7{,}3 = 7{,}3$ .

Как решать задачи

Перемножьте числа, не обращая внимания на запятые.
Сосчитайте, сколько цифр стоит после запятой в первом множителе и во втором, и сложите.
Отсчитайте в произведении столько цифр справа и поставьте запятую.
Если цифр не хватает, допишите слева нули, а перед запятой поставьте 0.
Нули в конце дробной части отбросьте: $$3{,}290 = 3{,}29$$ .
Прикиньте ответ: $2{,}35 \cdot 1{,}4$ — это примерно $2 \cdot 1{,}5 = 3$ , значит, 3,29 похоже на правду.

Разобранные примеры

База

Покупка на развес

Условие

Килограмм яблок стоит 85 р. Сколько стоят 1,6 кг яблок?

Решение

Стоимость $= 85 \cdot 1{,}6$ . Перемножаем без запятой: $85 \cdot 16 = 1360$ . После запятой в множителях 1 цифра, поэтому $$136{,}0 = 136$$ р.

Прикидка: 1,6 кг больше 1 кг, значит, и цена больше 85 р. — верно.

Ответ: 136 р.

Средний

Нули перед числом

Условие

Вычислите $0{,}045 \cdot 0{,}2$ .

Решение

$45 \cdot 2 = 90$ . После запятой в множителях $$3 + 1 = 4$$ цифры, а в числе 90 только две. Дописываем слева два нуля: $$0090$$ , и ставим запятую так, чтобы после неё было 4 цифры: $$0{,}0090 = 0{,}009$$ .

Ответ: 0,009

Сложный

Площадь участка

Условие

Участок прямоугольной формы имеет длину 32,5 м, а ширина на 8,7 м меньше. Найдите площадь участка и округлите её до целых квадратных метров.

Дано

$$a = 32{,}5$$ м
$$b = a - 8{,}7$$

Найти

$$S$$

Решение

$$b = 32{,}5 - 8{,}7 = 23{,}8$$ м.
$S = 32{,}5 \cdot 23{,}8$ . Считаем $325 \cdot 238 = 77\,350$ , после запятой $$1 + 1 = 2$$ цифры, $$S = 773{,}50 = 773{,}5$$ м².
До целых: за единицами стоит 5, поэтому $773{,}5 \approx 774$ м².

Ответ: ≈ 774 м²

Типичные ошибки

Ставят запятую «как в сложении» — под запятыми множителей

Почему неверно

При сложении разряды выравнивают по запятой, а при умножении — нет. Ученик пишет $1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$ правильно, но $0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}6$ — неверно: в каждом множителе одна цифра после запятой, и он ставит одну цифру в ответе.

Как правильно

Цифры после запятой у множителей складывают: $$1 + 1 = 2$$ , значит, $0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06$ . Десятые на десятые дают сотые.

Забывают дописать нули слева

Почему неверно

В $0{,}04 \cdot 0{,}3$ получается $4 \cdot 3 = 12$ , а отделить надо 3 цифры. Ответ «12» или «1,2» неверен: цифр не хватает, и запятую ставить некуда.

Как правильно

Дописываем слева нули: $$0{,}012$$ . Проверка прикидкой: $0{,}04 \cdot 0{,}3$ меньше $$0{,}04$$ , так что ответ должен быть совсем маленьким.

При умножении на 0,1 переносят запятую вправо

Почему неверно

Путают с умножением на 10. Но 0,1 меньше 1, поэтому произведение должно уменьшиться: $8{,}5 \cdot 0{,}1 = 85$ — явная ошибка.

Как правильно

На 10, 100, 1000 — запятая вправо, на 0,1; 0,01; 0,001 — влево: $8{,}5 \cdot 0{,}1 = 0{,}85$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите произведения $46{,}2 \cdot 0{,}1$ , $3{,}7 \cdot 0{,}01$ и $15 \cdot 0{,}001$ .

Подсказка

Умножить на 0,1; 0,01; 0,001 — перенести запятую влево на 1, 2, 3 цифры.

Решение

$46{,}2 \cdot 0{,}1 = 4{,}62$ — запятая влево на 1 цифру.

$3{,}7 \cdot 0{,}01 = 0{,}037$ — на 2 цифры, слева дописали нуль.

$15 \cdot 0{,}001 = 0{,}015$ — на 3 цифры.

Ответ

4,62; 0,037; 0,015

База Задача 2

Килограмм черешни стоит 320 р. Сколько стоит 0,75 кг черешни?

Решение

Дано

цена 320 р. за 1 кг
масса 0,75 кг

Найти

стоимость

$320 \cdot 0{,}75$ . Считаем $320 \cdot 75 = 24\,000$ , после запятой 2 цифры, $$240{,}00 = 240$$ р.

Ответ

240 р.

Средний Задача 3

Вычислите $2{,}35 \cdot 1{,}4$ и $0{,}06 \cdot 0{,}15$ .

Подсказка

Во втором произведении цифр окажется меньше, чем нужно отделить, — допишите нули слева.

Решение

$235 \cdot 14 = 3290$ ; после запятой $$2 + 1 = 3$$ цифры: $$3{,}290 = 3{,}29$$ .

$6 \cdot 15 = 90$ ; отделить надо $$2 + 2 = 4$$ цифры, а цифр только две. Дописываем нули слева: $$0{,}0090 = 0{,}009$$ .

Ответ

3,29; 0,009

Средний Задача 4

Поезд идёт со скоростью 72,5 км/ч. Какой путь он пройдёт за 2,4 ч?

Решение

Дано

$$v = 72{,}5$$ км/ч
$$t = 2{,}4$$ ч

Найти

$$s$$

$s = vt = 72{,}5 \cdot 2{,}4$ . Считаем $725 \cdot 24 = 17\,400$ , после запятой 2 цифры, $$s = 174$$ км.

Ответ

174 км

Сложный Задача 5

Прямоугольная грядка имеет длину 6,4 м, а ширина составляет 0,35 её длины. Найдите площадь грядки.

Подсказка

Сначала найдите ширину — 0,35 от 6,4 м.

Решение

Дано

длина $$a = 6{,}4$$ м
ширина $$b = 0{,}35a$$

Найти

$$S$$

$b = 6{,}4 \cdot 0{,}35 = 2{,}24$ м ( $64 \cdot 35 = 2240$ , 3 цифры после запятой).
$S = 6{,}4 \cdot 2{,}24 = 14{,}336$ м² ( $64 \cdot 224 = 14\,336$ , 3 цифры).

Ответ

14,336 м²

Сложный Задача 6

Не вычисляя, сравните с числом 7,8 произведения $7{,}8 \cdot 1{,}03$ и $7{,}8 \cdot 0{,}97$ . Затем проверьте вычислением.

Решение

Множитель $$1{,}03$$ больше 1, поэтому $7{,}8 \cdot 1{,}03 > 7{,}8$ . Множитель $$0{,}97$$ меньше 1, поэтому $7{,}8 \cdot 0{,}97 < 7{,}8$ .

Проверка: $7{,}8 \cdot 1{,}03 = 8{,}034$ , $7{,}8 \cdot 0{,}97 = 7{,}566$ .

Ответ

7,8 · 1,03 = 8,034 > 7,8; 7,8 · 0,97 = 7,566 < 7,8

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте квадрат 10 × 10 клеток — «один квадратный метр». Попросите ребёнка закрасить прямоугольник 3 × 4 клетки и спросите, какую часть квадрата он занял (12 из 100, то есть 0,12). Стороны прямоугольника — 0,3 и 0,4 стороны квадрата, значит, $0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$ . Потом перейдите к магазину: «Килограмм конфет стоит 400 р., сколько стоит 0,25 кг?» — и пусть ребёнок сначала прикинет ответ (меньше 400), а потом посчитает (100 р.).

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему $6 \cdot 0{,}5$ меньше 6? 2) Сколько цифр после запятой будет в $1{,}25 \cdot 0{,}4$ до отбрасывания нулей и чему равно произведение? 3) Как быстро умножить 73,1 на 0,01?

На что обратить внимание. Главная ошибка — запятая: пусть ребёнок вслух считает «после запятой две и одна — всего три». Приучайте к прикидке: умножение на число меньше 1 уменьшает результат. И напоминайте отбрасывать нули в конце: 3,290 и 3,29 — одно и то же число.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 47	6.263, 6.264, 6.265, 6.266, 6.267, 6.268, 6.269, 6.270, 6.271, 6.272, 6.273, 6.274, 6.275, 6.276, 6.277, 6.278, 6.279, 6.280, 6.281, 6.282, 6.283, 6.284, 6.285, 6.286, 6.287, 6.288, 6.289, 6.290, 6.291, 6.292, 6.293, 6.294, 6.295, 6.296, 6.297, 6.298, 6.299, 6.300, 6.301, 6.302, 6.303, 6.304, 6.305, 6.306, 6.307, 6.308, 6.309, 6.310, 6.311, 6.312, 6.313, 6.314, 6.315