Сложение и вычитание смешанных чисел

Целые к целым, кусочки к кусочкам

После праздника осталось 2 целых пирога и ещё половина пирога. Соседи принесли 1 целый пирог и три четверти другого. Сколько пирогов теперь? Сначала считаем целые: \(2 + 1 = 3\). Потом кусочки: половина и три четверти. Половину разрежем пополам — получатся две четверти. Две четверти и три четверти — это пять четвертей, то есть целый пирог и ещё четверть. Всего \(4\dfrac{1}{4}\) пирога.

Так и складывают смешанные числа. Смешанное число — это сумма целой части и дроби: \(2\dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2}\). Слагаемые можно менять местами и группировать как удобно (переместительное и сочетательное свойства сложения). Поэтому целые части складывают с целыми, а дробные — с дробными.

Правило сложения

1. Приведите дробные части к наименьшему общему знаменателю.
2. Отдельно сложите целые части и отдельно — дробные.
3. Если дробь получилась сократимой — сократите её. Если неправильной — выделите из неё целую часть и прибавьте к целой части суммы.

Например, \(5\dfrac{3}{4} + 2\dfrac{5}{8} = 5\dfrac{6}{8} + 2\dfrac{5}{8} = 7\dfrac{11}{8} = 8\dfrac{3}{8}\).

Целое число складывают со смешанным совсем просто: \(6 + 2\dfrac{3}{7} = 8\dfrac{3}{7}\) — дробная часть остаётся прежней.

Правило вычитания

Вычитание устроено так же: из целой части вычитают целую, из дробной — дробную. Это свойство вычитания суммы из числа: \(\left(4 + \dfrac{5}{6}\right) - \left(1 + \dfrac{1}{6}\right) = (4 - 1) + \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6}\right) = 3\dfrac{4}{6} = 3\dfrac{2}{3}\).

Трудность появляется, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Например, в \(3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{3}{4}\) из \(\dfrac{1}{4}\) нельзя вычесть \(\dfrac{3}{4}\). Тогда у целой части уменьшаемого занимают единицу и превращают её в дробь: \(1 = \dfrac{4}{4}\), поэтому \(3\dfrac{1}{4} = 2 + \dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{4} = 2\dfrac{5}{4}\). Число не изменилось, просто одна целая «разменяна» на четверти.

Теперь вычитать удобно: \(2\dfrac{5}{4} - 1\dfrac{3}{4} = 1\dfrac{2}{4} = 1\dfrac{1}{2}\).

Если уменьшаемое — целое число, его дробная часть равна нулю, и единицу занимают всегда: \(5 - 2\dfrac{3}{7} = 4\dfrac{7}{7} - 2\dfrac{3}{7} = 2\dfrac{4}{7}\).

Обратите внимание: занятая единица равна дроби, у которой числитель и знаменатель одинаковы, — \(\dfrac{4}{4}\), \(\dfrac{7}{7}\), \(\dfrac{12}{12}\). К числителю прибавляют знаменатель, а не 1 и не 10.

Как решать задачи

1. Посмотрите на знаменатели дробных частей и найдите наименьший общий знаменатель.
2. Перепишите каждое число с новой дробной частью, целую часть не меняйте.
3. При сложении сложите отдельно целые и дробные части.
4. При вычитании сравните дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше, займите у его целой части единицу: целую часть уменьшите на 1, а к числителю дробной части прибавьте знаменатель. Уменьшаемое — целое число? Запишите его как смешанное число с дробью вида \(\dfrac{n}{n}\).
5. Вычтите отдельно целые и дробные части.
6. Доведите ответ до конца: сократите дробь, из неправильной дроби выделите целую часть.
7. Прикиньте результат по целым частям: \(4\dfrac{5}{6} + 3\dfrac{3}{4}\) — больше 7, но меньше 9.